16.(本小题满分8分)求证:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题,常见的恒等式、不等式的命题可用数学归纳法证明,其他的如整除、几何方面的命题也可用数学归纳法证明.在证明n=k+1时,“配凑”的技巧掌握很重要,要有目的去“配凑”倍数式子,以及假设n=k时的式子.

证明 (1)当n=1时,a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假设n=k(k∈N*)时,

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

则当n=k+1时,

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a・a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a・a^k+1+a・(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假设可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1时命题也成立.

∴对n∈N*原命题成立.                 8分