2.本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解法一：（Ⅰ）连结AO，∵A₁O⊥面ABC，AO⊥BC．

∴A₁A⊥BC．                      

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠A₁AO=45°

由底面是边长为2的正三角形，可知AO=3

∴A₁O=3，AA₁=3

过O作OE⊥AC于E，连结A₁E，则∠A₁EO为二面角A₁―AC―B的平面角          

∵OE=，∴tan∠A₁EO=                         

即二面角A₁―AC―B的大小余弦值为．

（Ⅲ）过D作DF∥A₁O，交AO于F，则DF⊥平面ABC．

∴BF为BD在面ABC内的射影，

又∵A₁C₁∥AC，∴要使BD⊥A₁C₁，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，

∴F为△ABC的中心，∴                       

解法二：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA₁为z轴建立空间直角坐标系．