5.正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A―DC―B。

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角E―DF―C的余弦值；

参 考 答 案：

1解：（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′

（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂线定理得：D′F⊥BC，

∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。

∴，

即二面角D′―BC―E的正切值为.      

法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则

设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值为.