19.证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

  ……3分

（2）方法一：

……6分

方法二：以、、的方向分别为、、轴的方向建立空间直角坐标系，

则、、、的坐标分别为、、、，

∴，，从而，

因而，即。

（3）∵点为的中点，且为正方形，∴，

又平面，∴，

而，∴平面，

又平面，∴，故为二面角的平面角，

在中，，，∴，

因而二面角的正切值为。  ……9分

（4）（理）

     且 

，

∴即  

=

=            ……12分

（文），，。

                                 ……12分