21．（本小题满分13分）

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列的首项和公比均为．

   （１）试求无穷等比子数列（）各项的和；

   （２）已知数列的一个无穷等比子数列各项的和为，求这个子数列的通项公式；

（３）证明：在数列的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．

解：（１）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：

．   ……………………………………………………………………3分

（２）解法一：设子数列的首项为，公比为，由条件得：，

则，即 ，  ．

而  ，则 ．

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项．公比均为，

其通项公式为，．    ………………………………………………7分

解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为．

由………… ①

又若，则对每一，都有………… ②

从①、②得；则；

因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项．公比均为无穷等比子数列，通项公式为，．  …………………………………………7分

（３）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等．设这两个

子数列的首项与公比分别为和，其中且或，则………… ①

若且，则①，矛盾；若且，则①

，矛盾；故必有且，不妨设，则

．

①………… ②

②

或

，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等． ………13分