22．（本小题满分14分）

已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．

（1）证明线段是圆的直径；

（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．

2006年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学(文史类)答案与评分参考

说明：

（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D

（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B

（13）（14）（15）（16）48

（17）本小题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分

（I）解法一：

……4分

当，即时，取得最大值

因此，取得最大值的自变量x的集合是.……8分

解法二：

……4分

当，即时，取得最大值.

因此，取得最大值的自变量x的集合是……8分

（Ⅱ）解：

由题意得，即.

因此，的单调增区间是.…………12分

（18）本小题主要考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.

（Ⅰ）解：甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为

乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为

…………………………6分

（Ⅱ）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为

…………………………12分

解法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为

甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为

甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为

甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为

故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为

……………………12分

（19）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分

（Ⅰ）证明：、分别是正方形的边、的中点.

且

四边形是平行四边形

平面而平面

平面

（Ⅱ）解法一：点在平面内的射影在直线上，过点用平面垂足为连接

为正三角形

在的垂直平分线上。

又是的垂直平分线

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连接则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为，连接，

在折后图的中，

为直角三角形，

在中，

解法二：点在平面内的射影在直线上，连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点，

又

平面

平面

又，且，平面，平面，

平面，

为在平面内的射影。

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连结，则，

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为。

在折后图的中，，

为直角三角形，，

，

在中，，

，

解法三：点在平面内的射影在直线上连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点

又

平面，

平面，

平面平面

又平面平面，

平面，即为在平面内的射影，

点在平面内的射影在直线上。

过作，垂足为，连结，则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为

在折后图的中，.

为直角三角形，.

.

在中，,

,

,

.・・・・・・・・・・・・12分

(20)本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分.

(Ⅰ)解法一：当时，,

当时,.

是等差数列,

,

・・・・・・・・・・・・4分

解法二：当时,,

当时,.

当时,.

.

又,

所以,得.・・・・・・・・・・・・4分

(Ⅱ)解：,

.

又,

,

・・・・・・・・・・・・8分

又得.

,,即是等比数列.

所以数列的前项和.・・・・・・・・・・・12分

(21)本小题考查多项式函数的导数，函数极值的判定，二次函数与二次方程等基础知识的的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.满分12分.

(Ⅰ)解：,

令，由得或.・・・・・・・・・・・・2分

.

当时，，

当时,,

所以处取极小值，即......................6分

（II）解：

处取得极小值，即

由即

................9分

由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得.

即

由四边形ABCD的面积为1，得

即得d＝1，

从而得

......................12分

(22)本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力，满分14分。

（I）证法一：

即

整理得

......................12分

设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则

即

展开上式并将①代入得

故线段是圆的直径。

证法二：

即，

整理得

①……3分

若点在以线段为直径的圆上，则

去分母得

点满足上方程，展开并将①代入得

所以线段是圆的直径.

证法三：

即，

整理得

以为直径的圆的方程是

展开，并将①代入得

所以线段是圆的直径.

（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则

，

又

所以圆心的轨迹方程为：

设圆心到直线的距离为，则

当时，有最小值，由题设得

……14分

解法二：设圆的圆心为，则



又

…………9分

所以圆心得轨迹方程为…………11分设直线与的距离为,则

因为与无公共点.

所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为

将②代入③，有

…………14分

解法三：设圆的圆心为，则

若圆心到直线的距离为，那么

又

当时，有最小值时，由题设得