(15) 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

【解析】两老一新时, 有种排法;

两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.

【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.

(16) 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______

【解析】不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故.

【点评】本题考查了直线与平面所成角的定义以及正四棱柱的概念,充分考查了转化思想的应用.

(17) (本小题满分12分)

已知函数，.求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间.

【解析】(I) 解法一:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

解法二:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

(II)解:

由题意得:

即:

因此函数的单调增区间为.

【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.

(18) (本小题满分12分)]

已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.

ACD为正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分线上,

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

,

.

【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

(19) (本小题满分12分)