例4. 已知b>-1,c>0，函数f (x)=x+b的图象与函数g (x)=x²+bx+c的图象相切。（1）设b=h(c)，求h(c)；（2）设 (x>-b)在上是增函数，求c的最小值；（3）是否存在常数c，使得函数H(x)= f (x) g (x)在内有极值点？若存在，求出c的取值范围，若不存在，说明理由。

思路点击：本题材不论从函数类型，还是从涉及的函数内容角度欣赏都非常象高考题，尤其是第（3）题中的探索型问题使题目更显时尚和有档次，不过越是华丽的题目，解法往往越平易近人。