19.★(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂与a₃的等差中项,且.求极限的值.

分析 首先需求出a_n、b_n的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b₂是a₂与a₃的等差中项”已给出一个等量关系,“a_n与b_n之比的极限为”又给出了另一个等量关系,故可考虑先设出公差用二元方程组求解.

解 设{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂,

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d1),

∴2d₂-3d₁=2.①　　 2分

又

即d₂=2d₁,②　　　 4分

联立①②解得d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n-1)d₁=3+(n-1)·2=2n+1,

b_n=b₁+(n-1)d₂=2+(n-1)·4=4n-2.　　 6分

10分