18.(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得a_n≤b_n成立？

分析 对n赋值后,比较几对a_n与b_n的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

当n=5时,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此时a₅=b₅;

当n=6时, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此时a₆<b₆;

当n=7时,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此时a₇<b₇;

当n=8时,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此时a₈<b₈.

猜想:当n≥6时,有a_n<b_n.　　　　 3分

下面用数学归纳法证明上述猜想.

①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式a_n<b_n成立;

②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;当n=k+1时，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的传递性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴当n=k+1时,不等式也成立.　　 8分

由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

综上所述,可知只有当n=5时,a_n=b_n;当n≥6时,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然数n.

10分