17.(本小题满分8分)某校有教职工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.

解 设第n次去健身房的人数为a_n,去娱乐室的人数为b_n,则a_n+b_n=150,　　　　　　　 2分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.　　　　　　　　　 4分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)·()^n-1,即a_n=100+()^n-1·(a₁-100).　 6分

∴a_n=100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.　　　　　　　 8分