题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
设椭圆的左、右顶点分别为
,点
在椭圆上且异于
两点,
为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与
的斜率之积为
,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线
的斜率
满足
【解析】(1)解:设点P的坐标为.由题意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由条件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为
.
由P在椭圆上,有
因为,
,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点(2,0)的直线与椭圆
相交于两点
,设
为椭圆上一点,且满足
(O为坐标原点),当
<
时,求实数
的取值范围.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,利用
第二问中,利用直线与椭圆联系,可知得到一元二次方程中,可得k的范围,然后利用向量的
<
不等式,表示得到t的范围。
解:(1)由题意知
已知是公差为d的等差数列,
是公比为q的等比数列
(Ⅰ)若 ,是否存在
,有
?请说明理由;
(Ⅱ)若(a、q为常数,且aq
0)对任意m存在k,有
,试求a、q满足的充要条件;
(Ⅲ)若试确定所有的p,使数列
中存在某个连续p项的和式数列中
的一项,请证明.
【解析】第一问中,由得
,整理后,可得
、
,
为整数
不存在
、
,使等式成立。
(2)中当时,则
即
,其中
是大于等于
的整数
反之当时,其中
是大于等于
的整数,则
,
显然,其中
、
满足的充要条件是
,其中
是大于等于
的整数
(3)中设当
为偶数时,
式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,
式不成立。由
式得
,整理
当时,符合题意。当
,
为奇数时,
结合二项式定理得到结论。
解(1)由得
,整理后,可得
、
,
为整数
不存在
、
,使等式成立。
(2)当时,则
即
,其中
是大于等于
的整数反之当
时,其中
是大于等于
的整数,则
,
显然,其中
、
满足的充要条件是
,其中
是大于等于
的整数
(3)设当
为偶数时,
式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,
式不成立。由
式得
,整理
当时,符合题意。当
,
为奇数时,
由
,得
当
为奇数时,此时,一定有
和
使上式一定成立。
当
为奇数时,命题都成立
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
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