21.(本题满分12分)已知正方形ABCD的外接圆方程为 x2+y2－24x+a=0 (a<144)，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1)，

(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

(2)若顶点在原点焦点在x轴的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程。

(3) 设点N(1,2),过点(5,－2)的直线与抛物线E交于另外两点S、T.试判断三角形的形状？(锐角、钝角或直角三角形)并证明之.

解(1)由可知圆心M的坐标为(12，0)，　　　　　　　　　　　 依题意： , ,

　MA、 MB的斜率k满足：,解得：　　　　 　(2分)　

∴所求AC方程为：x+2y－12=0　　　　 BD方程为：2x－y－24=0 ……………(4分)

(2) 设MB、 MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝，

设圆半径为r,则， …………(6分)

再设抛物线方程为?y2＝2px　 (p＞0)?，由于A， B两点在抛物线上，

?　

得抛物线方程为?y2＝4x.?　　　　　　　　　　 ……………(8分)

(3)[证明]设T(t2,2t)、S(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线ST的方程为

化简得2x－(s+t)y+2st=0.由于直线ST过点(5－2),故2×5－(s+t)(－2)+2st=0,

即(s+1)(t+1)=－4.　　　　　　　　　　　　　 ……………(10分)

因此

所以∠TNS=90°.从而△NTS是直角三角形.　　　　　　　　　　 ……………　 (12分)