20.(本题12分)已知: 如图, 长方体AC₁中, 棱AB＝BC＝3, 棱BB₁＝4, 连结B₁C, 过点B作B₁C的垂线交CC₁于点E, 交B₁C于点F.

(1) 求证: A₁C平面EBD;

(2) 求点A到平面A₁B₁C的距离;

(3) 求ED与平面A₁B₁C所成角的大小.

解: (1)连结AC.在长方体AC₁中, A₁C在底面ABCD上的射影为AC, AC⊥BD,

∴AC₁⊥BD. ……(2分)

在长方体AC₁中, A₁C在平面BB₁C₁C上的射影为B₁C,B₁C⊥BE, ∴A₁C⊥BE. ……(3分)

又BDBE＝B, ∴A₁C⊥平面EBD. ……(4分)

(2) ∵BF⊥B₁C, BF⊥AB₁, B₁CA₁B₁＝B₁,

∴BF⊥平面A₁B₁C₁, ……(5分)

又∵A₁B₁∥AB, A₁B₁平面A₁B₁C,AB平面A₁B₁C,

∴AB∥平面A₁B₁C, 点A到平面A₁B₁C的距离即为点

B到平面A₁B₁C距离, 也就是BF. ……(7分)

在△B₁BC中, 易知,

点A到平面A₁B₁C的距离为.……(8分)

(3)连结A₁D、FD. 由(2)知BE⊥平面A₁B₁C,

即BE⊥平面A₁B₁CD,

∴∠EDF为ED与平面A₁B₁C所成的角. ……(9分)

矩形B₁BCC₁中, 易求得B₁F＝, CF＝, EF＝ EC＝

又在Rt△CDE中, ,……(11分)

即ED与平面A₁B₁C所成角为.……(12分)