12、(本题满分12分)

解：(Ⅰ)令，

依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0。

又由条件(1)得f(0) ≥0，则f(0)=0……………………　　　　 3分

(Ⅱ)任取，可知

则……………　 5分

即，故

于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1

因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，…………………　　　 　　7分

(Ⅲ)证明：研究①当时，f(x) ≤1<2x

②当时，

首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴………………9分

显然，当时，

成立。

假设当时，有成立，其中k＝1，2，…

那么当时，

可知对于，总有，其中n=1，2，…

而对于任意，存在正整数n，使得，

此时…………………　　　　　　　　　 …11分

③当x=0时，f(0)=0≤2x…………　　　　　　　　　 ……12分

综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立。