4．[北 京 四 中2005年数学第一次统测(理科)] 　如图，分别是正方体的棱上的点. 　(1)若，求证：无论点在上如何移动，总有； 　(2)若，且平面，求二面角的大小. 　4.(I)证法一：连AC、BD，则BD⊥AC， 　∵， ∴MN//AC，∴BD⊥MN. 　又∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥MN， 　∴MN⊥平面BDD1. 　∵无论点P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1， 　故总有MN⊥BP. 　证法二：连结AC、BD，则AC⊥BD. 　∵， ∴MN//AC，∴ MN⊥BD，又PD⊥平面ABCD， 　由三垂线定理得：MN⊥PB. 　(II)解法一：过P作PG⊥C1C交CC1于G，连BG交B1N于O1， 　∵PB⊥平面B1MN， ∴PB⊥B1N. 　又∵PG⊥平面B1BCC1， ∴ BG⊥B1N，∴ΔBB1N≌ΔBCG， ∴ BN=CG，NC=GC1， 　∴BN∶NC=DP∶PD1=2∶1. 　同理BM∶MA=DP∶PD1=2∶1. 　设AB=3a, 则BN=2a, ∴, 　, 　连MO1，∵AB⊥平面B1BCC1， ∴ MO1⊥B1N， 　∵∠MO1B就是二面角M-B1N-B的平面角， 　，∴ . 　解法二：设BD与MN相交于F，连结B1F， 　∵PB⊥平面MNB1， ∴ PB⊥B1F，PB⊥MN， 　∴在对角面BB1D1D内，ΔPBD∽ΔBB1F， 　设BB1=DD1=3，则PD=2，，∴， 即，故. 　∵MN⊥PB，由三垂线定理得MN⊥BD，MN//AC，MN=2BF=， BN=2， 　. 　设二面角B-B1N-M的平面角为α，则， 　.