(17) (本小题满分12分)

已知函数，.求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间.

[解析](I) 解法一:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

解法二:

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

(II)解:

由题意得:

即:

因此函数的单调增区间为.

[点评]本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力.

(18) (本小题满分12分)]

已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值.

[解析](I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.

ACD为正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分线上,

点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又且

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

.

解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上

连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.

ACD为正三角形,F为CD的中点,

又因,

所以

又

为A在平面BCDE内的射影G.

即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即

设原正方体的边长为2a,连结AF

在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF为直角三角形,

在RtADE中,

,

.

[点评]本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.

(19) (本小题满分12分)

现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(I)　 求、的概率分布和数学期望、;

(II)　 当时,求的取值范围.

[解析]

(I)解法1: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由题设得,则的概率分布为

	0	1	2
P

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

解法2: 的概率分布为

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布为

	1.3	1.25	0.2
P

所以的数学期望为

E=++=.

(II)　 由,得:

因0<p<1,所以时,p的取值范围是0<p<0.3.

[点评]本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.

(20) (本小题满分14分)

已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。

[解析](I)证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即

整理得:

故线段是圆的直径

证明2:

整理得:

……..(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则

即

去分母得:

点满足上方程,展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

证明3:

整理得:

……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:

故线段是圆的直径

(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得

.

解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则

因为x-2y+2=0与无公共点,

所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为

将(2)代入(3)得

解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则

圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因

当时,d有最小值,由题设得

.

[点评]本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C

　 (I)求

(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值

[解析](I)解:

令,得

当时, ;

当时,

所以f(x)在x=-1处取得最小值即

(II)

的图像的开口向上,对称轴方程为

由知

在上的最大值为

即

又由

当时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得.

解法2:

又c>0知在上的最大值为

即:

又由

当时, 取得最小值为

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以

又由三角形ABC的面积为得

利用b=a+d,c=a+2d,得

联立(1)(2)可得

[点评]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力