22．(本小题满分14分)

如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(1)求△APB的重心G的轨迹方程.

(2)证明∠PFA=∠PFB.

[思路点拨]本题涉及解析几何中直线与抛物线的若干知识.

[正确解答](1)设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　 切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 (2)方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

[解后反思]解析几何主要的是点和曲线的位置关系、对称性，标准方程当中系数对位置的影响.圆锥曲线的定义和几何性质,解析几何的解答题往往是高档题，常常涉及的内容是求轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系、对称、最值、范围.做这类题目一定要认真细心,提高自己的运算能力和思维能力.