20．(本小题满分12分)

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

　 (1)证明：D₁E⊥A₁D；

　 (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

　 (3)AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为.

[思路点拨]本题涉及立体几何线面关系的有关知识,

[正确解答]解法(一)

(1)证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

(2)设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

(3)过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　 ∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法(二)：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因为E为AB的中点，则E(1，1，0)，从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

(3)设平面D₁EC的法向量

，∴

由　 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=时，二面角D₁-EC-D的大小为.

[解后反思]立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.