20．(本小题共14分)

设是定义在[0，1]上的函数，若存在上单调递增，在[x^*，1]上单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，x^*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.

对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

　 (Ⅰ)证明：对任意的为含峰区间；

若为含峰区间；

　 (Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；

　 (Ⅲ)选取，由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0，)或(，1)，在所得的含峰区间内选取类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为(0，)的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝地值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

　 (区间长度等于区间的右端点与左端点之差)

[答案]

[详解]

(I)证明：设为的峰点,则由单峰函数定义可知在上单调递增,

　　　 在上单调递减.

　　　 当时,假设,则从而

　　　 这与矛盾,所以,即是含峰区间.

　　　 当时,假设,则,从而

　　　 这与矛盾,所以,即是含峰区间.

(II)证明：由(I)的结论可知：

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 对于上述两种情况,由题意得

　　　 由①得,即

　　　 又因为,所以

将②代入①得

　　　 由①和③解得

　　　 所以这时含峰区间的长度,即存在使得所确定的含峰区间

　　　 的长度不大于

(III)解：对先选择的,由(II)可知

　　　 在第一次确定的含峰区间为的情况下, 的取值应满足

　　　 由④与⑤可得

　　　 当时,含峰区间的长度为

　　　 由条件,得,从而

　　　 因此,为了将含峰区间的长度缩短到,只要取

[名师指津]

　　　 本题为信息题,通过题目中给出的信息结合已学过的数学知识解决这类问题.