18．(本小题共14分)

　　　 如图，直线l₁：与直线l₂：之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂.

　 (Ⅰ)分别用不等式组表示W₁和W₂；

　 (Ⅱ)若区域W中的动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；

(Ⅲ)设不过原点O的直线l与(Ⅱ)中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别

交于M₃，M₄两点. 求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合.

[答案]

[详解]

解：(I)

(II)直线直线,由题意得

　　　 即

　　　 由知

　　　 所以即

　　　 所以动点P的轨迹方程为

(III)当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直线、曲线C关于轴对称,

　　　 且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以

　　　 的重心坐标都为,即它们的重心重合.

　　　 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为

　　　 由,得

　　　 由直线　与曲线C有两个不同交点,可知,且

　　　 设的坐标分别为

　　　 则

　　　 设的坐标分别为

　　　 由

　　　 从而

　　　 所以

　　　 所以

　　　 于是的重心与的重心也重合.

[名师指津]

　　　 本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数、数列、不等式、向量等综合考

查各种数学思想及方法.