21. (本小题满分14分)已知椭圆C₁:,抛物线C₂:,

且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，

求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为：

　　 　　 x =1，从而点A的坐标为(1，)或(1，－).　 因为点A在抛物线上.

所以，即.此时C₂的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.

(II)解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由(I)知直线AB

的斜率存在，故可设直线AB的方程为．

由消去得………………①

设A、B的坐标分别为(x₁,y₁), (x₂,y₂),　

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁+x₂＝.

　由　

消去y得.　　　　　 ………………②

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入②有.

即.　　　　　　　　　　　 　　 …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁+x₂＝.

从而＝. 解得　　……………………④

又AB过C_{1、、＼、、}C₂的焦点，所以

，

则　　 …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因为C₂的焦点在直线上，所以.

　或．

由上知，满足条件的、存在，且或，．

解法二：　　　 设A、B的坐标分别为，．

　　因为AB既过C₁的右焦点，又过C₂的焦点，

所以.

即.　　　　 　 ……①

由(Ⅰ)知，于是直线AB的斜率， ……②

且直线AB的方程是,

所以.　　　　 ……③

又因为，所以.　　 ……④

将①、②、③代入④得．　……………⑤

　因为，所以．　…………⑥

将②、③代入⑥得　……………⑦

由⑤、⑦得即

解得．将代入⑤得

　　或．

由上知，满足条件的、存在，且或，