21．(本小题满分14分)

设是函数的一个极值点。

(Ⅰ)、求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(Ⅱ)、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

　点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只须仅须

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是(0，)。