20．(本小题满分14分)

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程；

(Ⅱ)、设为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

(此题不要求在答题卡上画图)

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：(Ⅰ)依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₀，y₀).

∵M点在椭圆上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P(4，).

从而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

将1代入2，化简得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为(，)，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　 5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。