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１．设全集
，集合
则下列关系中正确的是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
２．若
，则
与
的夹角是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
３．若命题
，则
是
Ａ．
且
Ｂ．或
Ｃ．
Ｄ．
４．
等于
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
５．二项展开式
的各项系数之和为
，则展开式中的常数项为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
６．在
中，
是
成立的
Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
７．若
是两个相交平面，点
不在
内，也不在
内，则过点且与都平行的直线
Ａ．只有条 Ｂ．只有条 Ｃ．只有
条 Ｄ．有无数条
８．定义：复数
是复数
的共轭复数．若复数
在映射
下的象为
，则
的原象为
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
９．设函数
，则当
时，函数
的值域是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．用四种不同的颜色给正方体
的六个面染色，要求相邻两个面涂不同的颜色，且四种颜色均用完，则所有不同的涂色方法共有
Ａ．
种 Ｂ．
种 Ｃ．
种 Ｄ．
种
第Ⅱ卷(共100分)
11．在等比数列
中，
，则
等于
．
12．若椭圆的焦点到其相应准线的距离等于半焦距长，则椭圆的离心率
．
13．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，
是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为
，该组上的直方图的高为
，则
等于 ．
14．已知球面上三点
，且
，球的半径为
，则球心到平面
的距离为 
．
15．已知函数
的图象过点
，其反函数
的图象过点
，则
（１）
；
（２）若方程
没有实根，则实数
的取值范围是
．
16．（本小题满分12分）
已知５条桥梁横跨A、Ｂ两岸，假设各条桥梁的车流量分别为１、１、２、２、３（单
位：万量），现从这５条桥梁中任取三条桥梁，考察这三条桥梁的车流量之和
．
（１）求
的概率；
（２）求的数学期望．
17．（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，已知点
．
（１）若
，求
的值；
（２）若
，求
与
的夹角．
18．（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱
中，
是
中点，点
在
上．
（１）试确定点Ｎ的位置，使
；
（２）当时，求二面角
的大小．
19．（本小题满分14分）
某种商品在天内每件的销售价格
（元）与时间
（天）的函数关系用右图的两条线段表示，该商品在内日销售量
（件）与时间（天）之间的关系如下表：
第天
5
15
20
30
件
35
25
20
10
（１）根据提供的图象，写出该商品每件
的销售价格与时间的函数关系；
（２）在所给直角坐标系中，根据表中提
供的数据描出实数对
的对应点，并
确定日销售量与时间的一个函数关系
式；
（３）求该商品的日销售金额的最大值，
并指出日销售金额最大的一天是天中
的第几天？（日销售金额＝每件的销售价
格
日销售梁）
20．（本小题满分14分）
已知：
分别是
轴正方向上的两个单位向量，
是直角平面上的一个动点，
，
，设动点Ｐ的曲线方程为Ｃ，点
是曲线Ｃ上位于第一象限的不同两点．
（１）求曲线C的方程；
（２）设
轴上一点Ｔ满足条件：
，求
点的纵坐标的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知函数
．
（１）讨论函数的单调性；
（２）是偶数时，正项数列满足
，求
的通项公式；
（３）是奇数，
时，求证：
．
雅礼中学2006届高三第一次模拟考试
数学试卷(理工农医类)答案
１．Ｂ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ｄ
６．Ｃ ７．Ａ ８．Ｂ ９．Ｄ 10．Ｂ
11．
12．
13．
14．
15．（１）
；（２）
16．（本小题满分12分）
解：（１）由等可能事件得
．……………………………………… 5分
（２）由已知得
．分布列如下：
４
５
６
７
……………………………………………………………………………………………10分
故
． …………………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（１）
． ……………………………………………………………… 6分
（２）由得
． …………………10分
由夹角公式得
． …………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
解：（１）
． ……………………………………………………………… 6分
（２）
． ………………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（１）由已知得：
．…4分
（２）如图所示，对应的一个函数关系式为
． …… 8分
（３）分段函数分段处理得
, ………11分
当
时，日销售金额最大，且最大值为
元． ……………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：（１）由双曲线的定义得
． ……………………………… 6分
（２）由得即为线段
的中垂线与轴的交点．………… 8分
令
，则线段的中垂线方程为
，
所以的纵坐标为
． …………………………………10分
由点差法得
， ………………………………………………12分
代入得
．
又
，则
， ……………………………………13分
所以
，即点的纵坐标的取值范围是
． …………14分
21．（本小题满分14分）
解：（１）由已知得
，而
．
当是奇数时，则
，则在
上是增函数； ………………… 2分
当是偶数时，则
，所以当
时，
；
当
时，．
故当是偶数时，在
上是减函数，在
上是增函数． …………… 4分
（２）由已知得
， …………………… 6分
所以
是以２为首项，公比为２的等比数列，
故
．……………………………………………………………………… 8分
（３）由已知得
，
所以左边
． …………………………12分
右倒序相加法得：
令
，
所以
．
所以成立． ………………………………14分
