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例1、(07海南) 曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ、
Ｂ、
Ｃ、
Ｄ、
例2、(07全国Ⅰ20) 设函数
。
（Ⅰ）证明：
的导数
；
（Ⅱ）若对所有
都有
，求
的取值范围。
例3、(05全国Ⅱ22) 已知
，函数
．
（Ⅰ）当
为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在[
,1]上是单调函数，求的取值范围。
;（
)
（一）选择题：
1、（07浙江）设
是函数的导函数，将
和
的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
2、（07江西）设函数是
上以5为周期的可导偶函数，则曲线在
处的切线的斜率为（ ）
Ａ、
Ｂ、
Ｃ、
Ｄ、
3、（07陕西）是定义在
上的非负可导函数，且满足
．对任意正数
，若
，则必有（ ）
A、
B、
C、
D、
4、（06北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意
,
(
).
恒成立”的只有（ ）
A、
B、
C、
D、
5、（06安徽）若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则的方程为（ ）
A、
B、
C、
D、
（二）填空题：
6、（06湖南）曲线
和
在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是___________；
7、（05北京）过原点作曲线
的切线，则切点的坐标为
，切线的斜率
为 。
（三）解答题：
8、（06北京）已知函数
在点
处取得极大值5，其导函数 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）
的值.
9、（06安徽20）已知函数
在
上有定义，对任何实数
和任何实数，都有
。（Ⅰ）证明
；（Ⅱ）证明
其中
和
均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的
时，设
，讨论
在
内的单调性并求极值。
证明（Ⅰ）令
，则
，∵，∴。
（Ⅱ）①令
，∵，∴
，则
。
假设
时，
，则
，而
，∴，即成立。
②令
，∵，∴
，
假设时，
，则
，而
，∴，即成立。∴
成立。
（Ⅲ）当时，
，
令
，得
；
当
时，
，∴
是单调递减函数；
当
时，
，∴是单调递增函数；
所以当
时，函数在内取得极小值，极小值为
导数的应用080626
例1、（07山东22）设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数
，不等式
都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为
，
设
，其图象的对称轴为
，
．
当时，
，
即
在上恒成立，
当
时，
，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②
时，
有两个相同的解
，
时，，
时，，
时，函数在上无极值点．
③当
时，
有两个不同解，
，
，
时，
，
，
即
，
．
时，，随的变化情况如下表：
极小值
由此表可知：
时，有惟一极小值点，
当
时，
，
，
此时，，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
时，有惟一最小值点
；
时，有一个极大值点
和一个极小值点
；
时，无极值点．
（Ⅲ）当
时，函数
，
令函数
，
则
．
当
时，，所以函数
在
上单调递增，
又
．
时，恒有
，即
恒成立．
故当
时，有
．
对任意正整数取
，则有．
所以结论成立．
例2、（06全国Ⅰ21）已知函数
。（Ⅰ）设，讨论
的单调性；（Ⅱ）若对任意
恒有
，求的取值范围。
解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax.
(?)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.
(?)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.
(?)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= .
当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
(－∞, －)
(－,)
(,1)
(1,+∞)
f '(x)
＋
－
＋
＋
f(x)
ㄊ
ㄋ
ㄊ
ㄊ
f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数.
(Ⅱ)(?)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.
(?)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1
(?)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得
f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。
例3、（06天津20）已知函数
，其中
为参数，且
．（1）当时
，判断函数
是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数
的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间
内都是增函数，求实数的取值范围。
（Ⅰ）当
时，
，则在
内是增函数，故无极值
（Ⅱ）
，令
，得
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论
①当
时，随x的变化
的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
因此，函数在
处取得极小值
，
且
要使
，必有
，可得
由于
，故
②当时
，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数
处取得极小值
，且
若
，则。矛盾。所以当时，的极小值不会大于零
故参数的取值范围为
（III）由（II）知，函数在区间与
内都是增函数
由题设，函数
内是增函数，则a须满足不等式组
或 
由（II），参数时
时，
要使不等式
关于参数恒成立，
必有
，即
解得
或
所以的取值范围是
例4、（04福建16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大。
（一）选择题：
1、（06天津）函数的定义域为开区间
，导函数
在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
2、（06江西）对于上可导的任意函数，若满足
，则必有（ ）
A、
B、
C、
D、
（二）填空题：
3、（07江苏）已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
，则
_____；
4、（05重庆）曲线
处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为
=
。
（三）解答题：
5、（07海南21）设函数
（I）若当
时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
解：
（Ⅰ）
，
依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
，当
时，；
当
时，
；
当
时，．
从而，分别在区间
单调增加，在区间
单调减少．
（Ⅱ）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（?）若
，即
，在的定义域内，故的极值．
（?）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，，当
时，，所以无极值．
若，
，
，也无极值．
（?）若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，
，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，
，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
．
的极值之和为
．
6、（07福建22）已知函数
（Ⅰ）若
，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意
，
恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，求证：
。
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得
，所以
．
由得
，故的单调递增区间是
，
由得
，故的单调递减区间是
．
（Ⅱ）由
可知
是偶函数．
于是对任意成立等价于
对任意成立．
由
得
．
①当
时，
．
此时在
上单调递增．
故
，符合题意．
②当
时，
．
当变化时
的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，
．
依题意，
，又
．
综合①，②得，实数的取值范围是
．
（Ⅲ）
，
，
，
由此得，
故
．
7、（07湖北20）已知定义在正实数集上的函数
，
，其中．设两曲线，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示
，并求的最大值；
（II）求证：
（）．
分析：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故
在
为增函数，在
为减函数，
于是在
的最大值为
．
（Ⅱ）设
，
则
．
故
在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当时，有
，即当时，
。
8、（05湖北）已知向量
在区间（－1，1）上是增函数，求
的取值范围。
9、（05江苏22）已知
函数
（Ⅰ）当
时，求使
成立的的集合；（Ⅱ）求函数
在区间[1,2]上的最小值。
[分析]:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x进行讨论,得出方程,进而求出x的值;第二问对a进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值.
[解答]:
(Ⅰ)由题意,f(x)=x2
当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;
当x
综上所述,所求解集为
.
(Ⅱ)设此最小值为m.
①当
因为:
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
②当1<a
.
③当a>2时，在区间[1，2]上，
若
在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，
由此得：m=f(1)=a-1.
若2<a<3,则
当
当
因此，当2<a<3时，m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).
当
;
当
综上所述，所求函数的最小值
[评析]:本题主要考查运用导数研究函数性质的方法,同时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。
