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1．函数
的定义域为______ ．
2．设
,且
为纯虚数，则
______.
3．如图(
)，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(b)，(c)所示，则其左视图的面积为_______________．
4．如果执行如图的流程图，那么输出的
．
5．已知双曲线
的一条渐近线的方程为
，则此双曲线两条准线间距离为_____．
6．如图是某次青年歌手电视大奖赛上一位选手得分的茎叶统计图，
但是有一个数字
不清晰．根据比赛规则要去掉一个最高分和一个
最低分．已知所剩数据的平均数为85，则所剩数据的方差为 _____
．
7．利用计算机在区间
上产生两个随机数
和
，则方程
有实根的概率为 ．
8．已知
，则
的值等于________．
9．某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第
天的维修保养费为
元,若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天．
10．连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于
”为事件
，则
最大时，
．
11. 已知下列两个命题：
：
，不等式
恒成立；
：1是关于x的不等式
的一个解．
若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是
．
12．定义一个对应法则
．现有点
与
，点
是
线段
上一动点，按定义的对应法则
．当点
在线段
上从点
开始运动到点
结束时，点的对应点
所经过的路线长度为 ．
13．设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
，则实数的取值范围是
．
14．数列
满足
,其中
为常数．若存在实数,使得数列为等差数列或等比数列,则数列的通项公式
．
15．在
中，角
的对边分别为
，且
成等差数列．
⑴求角
的值；
⑵若
，求△
周长的取值范围．
16．已知直三棱柱
中，
分别为
的中点，
,点
在线段上，且
．
⑴求证:
；
⑵若
为线段
上一点，试确定在线段上的位置，
使得
平面
．
17.如图，在边长为1的正三角形中，
分别是边
上的点，若
，
．设
的中点为，
的中点为
．
⑴若
三点共线，求证
；
⑵若
，求
的最小值．
18．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，其右准线上
上存在点（点在
轴上方），使
为等腰三角形．
⑴求离心率
的范围；
⑵若椭圆上的点
到两焦点的距离之和为
，求的内切圆的方程．
19．已知函数
⑴当
时，求函数
的单调区间；
⑵求函数在区间
上的最小值．
20．设数列
满足
，令
.
⑴试判断数列
是否为等差数列？并求数列的通项公式；
⑵令
，是否存在实数，使得不等式
对一切
都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
⑶比较
与
的大小．
试题答案
1．
2． 
3． 
4． 25 5． 
6．
7． 8． 
9． 800 10．7 11． a
12． 
13． 
14． 
15．⑴因为成等差数列，所以
…………2分
由正弦定理得
，即
．
因为
，又
，所以
．…………6分
⑵
，
，同理
，…………8分
因为，所以
，
所以△周长
…………12分
因为
，所以
，所以△周长的取值范围为
．
…14分
16．⑴由直三棱柱可知
平面,所以
，…………2分
又因为
，
面
，
故
，
…………4分
又在直三棱柱中，
，
故
面
在平面
内，所以 …………6分
⑵连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME, …………8分
连结FM，
,F
，在
中，由BE=4ME，AB=4AF
所以MF//AE， …………12分
又在面AA平面． …………14分
17．⑴由三点共线，得
，
…………………………2分
设
，即
， …………………………4分
所以
，所以．
…………………………6分
⑵因为
＝
，
又，所以
， …………………………10分
所以
＝
故当
时，
．
…………………………14分
18．⑴由题意有
．
…………2分
设
,由为等腰三角形,则只能是
,又
，
即
,所以
．
…………6分
⑵由题意得椭圆的方程为
，其离心率为
，此时
．
由，可得
．
…………10分
设内切圆的圆心
，
，
因为为等腰三角形，所以的内切圆的圆心点到
的距离等于点到轴的距离，即
， ①
由点在直线
上，所以
， ②
由①②可得
所以的内切圆的方程为
．…………16分
注：本题亦可先用面积求出半径，再求圆的方程．
19．⑴
，
， …………2分
由
得
, 解得
或
．
注意到
,所以函数的单调递增区间是
．
由
得
,解得
,
注意到,所以函数的单调递减区间是
．
综上所述，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．…………6分
⑵当
时, 
，所以
，
设
．
①当
时，有
, 此时
,所以
,在上单调递增．所以
．
…………8分
②当
时,
,
令,即
,解得
或
(舍)；
令,即
,解得
．
若
,即
时, 在区间单调递减，
所以
．
若
,即
时, 在区间
上单调递减,
在区间
上单调递增,
所以
．
若
,即
时, 在区间单调递增，
所以．
…………14分
综上所述,当
时, 
；
当
时，
；
当
时, 
．
…………16分
20. ⑴由已知得
,
即
,
…………2分
所以
,即
,
又
,所以数列
为等差数列，通项公式为
. …………6分
(2)令
，由，得
所以，数列
为单调递减数列，
…………8分
所以数列的最大项为
，
若不等式对一切都成立，只需
，解得
，
又
，所以的取值范围为
．
…………12分
（3）问题可转化为比较
与
的大小．设函数
，所以
．
当
时，
；当
时，
．所以
在
上为增函数；
在
上为减函数．
当
时，显然有
，
当
时，
，即
，所以
，
即
所以
．
综上：当时，，即
；
当时，
即
．
…………16分
