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13．观察下列式子：
……，则可以猜想：当
时，有___________________。
14．已知二项式
的展开式中
项的系数与
的展开式中
项的系数相等，则
_________。
15．在三棱锥
中，侧棱
、
、
两两垂直，
、
、
的面积分别为
、
、
，则三棱锥的外接球的体积为_____________。
16．某同学在研究函数
时，分别给出下面几个结论：
①等式
在
时恒成立； ②函数
的值域为
③若
则一定有
； ④函数
在
上有三个零点。
其中正确结论的序号有_______________（请将你认为正确的结论的序号都填上）
17．（本小题满分12分）
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
且
（1）求角的大小；
（2）若向量
，向量
，求
的值。
18．（本小题满分12分）
有编号为1，2，3，…，
的个学生，入坐编号为1，2，3，…的个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有6种坐法。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体
中
点
在棱上移动，小蚂蚁从点沿长方体的表
面爬到点，所爬的最短路程为
。
（1）求证：
（2）求的长度：
（3）在线段上是否存在点，使得三面角
的大小为
。若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）
数列
的各项均为正数，前项和为
，对于
，总有
成等比数列，且
（1）求数列的通项公式：
（2）对任意给定的正整数
，作数列
，使
，且
…，
求
…
的值；
21．（本小题满分12分）
已知椭圆
的上、下焦点分别为
、
，点
为坐标平面内的动点，满足
（1）求动点的轨迹的方程：
（2）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
、
，求直线
的方程：
（3）在直线
上否存在点
，过该点作曲线的两条切线，切点分别为、，使得
，若存，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。
22．（本小题满分11分）
已知函数
，且对于任意实数
，恒有
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数
在区间
上单调，求实数的取值范围；
（3）函数
有几个零点？
数学试卷（理科）
1―5：B D B B C 6―10：D C A D A 11―12：D D
13．
14．
15．
16．①②③
17．解：（1）∵
∴
………………………………2分
∴
，∴
或
∵
，∴
………………………………………………………………4分
（2）∵
∴
，即
又
∴
，即
②…………6分
由①②可得
∴
……………………………………………8分
又
，∴
…………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）∵当时，有
种坐法 ………………………………………………2分
∴
，即
或
（舍去） ∴
…………………………………4分
（Ⅱ）∵ 的可能取值是0，2，3，4，
又∵
……………………………………8分
∴的概率分布为：
0
2
3
4
……………10分
则
。 …………………………………12分
19．解：（1）证明：连结
，由长方体的性质可知：
平面，∴是
在平面内的射影。又∵
∴
∴
（三垂线定理）………………4分
（2）设
，∵四边形
是正方形，
∴小蚂蚁从点沿长方体的表面爬到点
可能
有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路?为
∵
∴
∴
∴
…………9分
（3）假设存在，平面
的法向量
设平面
的法向量
则
∴
………………………………………………………………………10分
由题意得：
解得：
或
（舍去）
即当点离为
时，三面角
的大小为。 …………………12分
20．解：（1）由
知，
所以
又
，所以
，
若为奇数，由得
。
若为偶数，则由
得
，所以。
综上所述，
………………………………………………………4分
（2）由于
……，
，
将以上各式左右两边分别对应相乘得到：
（2）设
的前项和为
，当
时，
∴
；（8分）
时，
，∴
（10分）
∴
∴
（12分）
21．解：（1）由题意知
，设
。由余弦定理得
（2分）
又
（4分）
当且仅当
时，
取最大值，此时
取最小值
令
，∵
，∴
。
故所求点的轨迹方程为
（6分）
（2）设
则由
可得
，
故
（8分）
∵、在动点的轨迹上，故
且
消去
得
，解得
，又
，
∴
，得解
。故
的取值范围是。
（12分）
22．解：（Ⅰ）
，令
，得
或
。 （2分）
当
时，
在上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
而
，∴当
时，的值域是
。 （4分）
（Ⅱ）设函数
在
上的值域是A，
∵若对任意
,总存在
，使
，∴
（6分）
.
①当
时，
，
∴函数在
上单调递减，
∵
∴当时，不满足； （8分）
②当
时，
，
令
，得
或
（舍去）。
（9分）
（Ⅰ）当
时，
的变化如下表：
0
2
－
0
＋
0
∴
， ∵，
∴
，解得
。
（11分）
（Ⅱ）当
时，
∴函数在（0，2）上单调递减，
∵
∴当时，不满足.
（13分）
综上可知，实数的取值 范围是
.
（14分）
