(2)若a=2^a,b=log,3,c=log,sin,则

(A）a>b>c                                        (B)b>a>c

(C)c>a>b                                          (D)b>c>a

(3)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的

(A)充分而不必要条件                       （B）必要而不充分条件

(C)充分必要条件                              （D）即不充分也不必要条件

（4）若点P到直线x=－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P的轨迹为

（A）圆               （B）椭圆                   （C）双曲线        （D）抛物线

  x-y+1≥0,

（5）若实数x,y满足   x+y≥0,　　则z=3^x+y的最小值是

x≤0,

(A)0                            (B)1                             (C)                 (D)9

(6)已知数列｜a_n｜对任意的p,q∈N^m满足a_p+q=a_p+a_q,且a_P=-6,那么a_p+q等于

（A）-165            (B)-33                          (C)-30                   (D)－21

（7）过直线y=x上的一点作圆（x-5）²=2的两条切线l₁，l_2，当直线l₁，l₂关于y=x对称时，综们之间的夹角为

（A）30°            （B）45°                   (C)60°                (D)90°

(8)如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上。过点P作垂直平面BB₁D₁D的直线，与正方体面相关于M、N，设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是

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2008年普通高等学校校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

                            第Ⅱ卷（选择题　共40分）

注意事项：

1.       用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.       答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号

二

15

16

17

18

19

20

总分

分数

得分

评分人

二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）已知(a-i)²=2i,其中I是虚数单位，那么实数a=         。

（10）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=|b|=4,那么b・（2a+b）的值为　　　　。

（11）若展开式的各项数之和为32，则n=        ,其展开式中的常数项为

　　　　　　。（用数字作答）

（12）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))=         ; =       。

（用数字作答）

（13）已知函数f(x)=x²=cos x,对于［－］上的任意x₁,x₂,有如下条件：

①     x₁>x₂;  ②x²₁>x²₂;  ③|x₁|>x₂.

其中能使f(x₁)> f(x₂)恒成立的条件序是　　　　　　.

(14)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P₁(x₁,y₁)处，其中x₁=1,y₁=1,当k≥2时，

　　　　x₁=x_x-1+1-5［T（）-T（）］

        yk=y_k+1+T（）-T（）

T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T(2,6)=2,T(0,2)=0.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　　　；第2008棵树种植点的坐标应为　　。

得  分

评分人

（15）（本小题共13分）

已知函数f(x)=sin²ωx+sinωxsin(ωx+)(ω＞0)的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0， ]上的取值范围.

得  分

评分人

（16）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AC；

（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

得  分

评分人

（17）（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岁位服务，每上岗位至少有一名志愿者.

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列.

得  分

评分人

（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)=,求导函数f¹ (x),并确定f(x)的单调区间.

得  分

评分人

（19）（本小题共14分）

已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为l.

（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；

（Ⅱ）当∠ABC=60°，求菱形ABCD面积的最大值.

得  分

评分人

（20）（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列A:a_1,a₂,…,a_n,定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

对于每项均是非负整数的数列B：b₁,b₂, …,b_m,定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）：又定义

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m.

设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果数列A₀为5，3，2，写出数列A₂,A₂；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S(A_k+1)=S(A_k).

2008年高考北京理科数学详解

1．已知全集，集合，，那么集合等于（    ）

A．         B．

C．        D．

【标准答案】: D

【试题分析】: CB=[-1, 4]，＝

【高考考点】:集合

【易错提醒】: 补集求错

【备考提示】: 高考基本得分点

2．若，，，则（    ）

A．              B．                     C．                     D．

【标准答案】: A

【试题分析】:利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0.

【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。

【易错提醒】: 估值出现错误。

【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。

3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件               B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件

【标准答案】: B

【试题分析】: 函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。

【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚

【备考提示】: 平时注意数形结合训练。

4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（    ）

A．圆            B．椭圆        C．双曲线            D．抛物线

【标准答案】: D

【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

【高考考点】: 二次函数的定义。

【易错提醒】: 没有转化的意识

【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。

5．若实数满足则的最小值是（    ）

A．0             B．1              C．         D．9

【标准答案】: B

【试题分析】: 解出可行域的顶点，带入验证。

【高考考点】: 线性规划

【易错提醒】: 顶点解错

【备考提示】: 高考基本得分点。

6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（    ）

A．             B．        C．        D．

【标准答案】: C

【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30

【高考考点】: 数列

【易错提醒】: 特殊性的运用

【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。

7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（    ）

A．            B．           C．         D．

【标准答案】: C

【试题分析一】: 过圆心M作直线：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。

【试题分析二】:明白N点后，用图象法解之也很方便

【高考考点】: 直线与圆的位置关系。

【易错提醒】: N点找不到。

【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。

8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（    ）

【标准答案】: B

【试题分析】: 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。

【高考考点】: 截面，线与面的位置关系。

【易错提醒】: 找不到特殊点O，或者发现不了O的特殊性。

【备考提示】: 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。

9．已知，其中是虚数单位，那么实数           ．

【标准答案】: -1

【试题分析】: a－2ai－1＝a－1－2ai＝2i，a=－1

【高考考点】: 复数的运算

【易错提醒】: 增根a=1没有舍去。

【备考提示】: 高考基本得分点。

10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为           ．

【标准答案】: 0

【试题分析】: 利用数形结合知，向量a与2a+b垂直。

【高考考点】: 向量运算的几何意义

【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。

【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。

11．若展开式的各项系数之和为32，则           ，其展开式中的常数项为           ．（用数字作答）

【标准答案】: 5    10

【试题分析】: 显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C＝10.

【高考考点】: 二项式

【易错提醒】: 课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误

【备考提示】: 二项式的考题难度相对较小，注意三基训练。

12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则           ；

           ．（用数字作答）

【标准答案】: 2  -2

【试题分析】: f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.

【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。

【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。

【备考提示】: 在函数、三角函数、平面向量、复数、解析几何、导数范围，数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视。

13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①；  ②；  ③．

其中能使恒成立的条件序号是            ．

【标准答案】: ②

【试题分析】: 函数显然是偶函数，其导数y’=2x+sinx在0<x<时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点。当x=,x=-时，①③均不成立。

【高考考点】: 导数，函数的图像，奇偶性。

【易错提醒】: 忽视了函数是偶函数。

【备考提示】: 加强导数综合应用的训练。

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，

表示非负实数的整数部分，例如，．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为            ；第2008棵树种植点的坐标应为       ．

【标准答案】: (1,2)  (3, 402)

【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。

【高考考点】: 数列的通项

【易错提醒】: 前几项的规律找错

【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。

15．（本小题共13分）

已知函数（）的最小正周期为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

【标准答案】: （见后）

【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。

【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。

【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。

16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

【标准答案】: （见后）

【高考考点】: 直线与直线的垂直，二面角，点面距离

【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一

【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。

17．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．

【标准答案】:

【高考考点】: 概率，随机变量的分布列

【易错提醒】: 总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C混淆为A

【备考提示】: 近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。

18．（本小题共13分）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．

【标准答案】:

【高考考点】: 导数，导数的应用

【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错

【备考提示】: 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。

19．（本小题共14分）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

【标准答案】:

【高考考点】: 直线方程，最值

【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理

【备考提示】: 解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配。

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

．

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

又定义．

设是每项均为正整数的有穷数列，令．

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

【标准答案】:

【高考考点】: 数列

【易错提醒】: 入口出错

【备考提示】: 由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，新数列的前几项一定不难出错，它出错，则整体出错。

2008年普通高等学校招生全国统一考试