搜索
1、设集合理科数学.files/image002.gif)
，则理科数学.files/image004.gif)
( )
Ａ.理科数学.files/image006.gif)
Ｂ.理科数学.files/image008.gif)
Ｃ.理科数学.files/image010.gif)
Ｄ.理科数学.files/image012.gif)
2、已知复数理科数学.files/image014.gif)
，则理科数学.files/image016.gif)
（ ）
A. 2
B. －理科数学.files/image018.gif)
D.
理科数学.files/image020.gif)
3、若等差数列理科数学.files/image022.gif)
满足理科数学.files/image024.gif)
，理科数学.files/image026.gif)
，则理科数学.files/image028.gif)
的值是（ ）
A．20 B．
4、已知理科数学.files/image030.gif)
是理科数学.files/image032.gif)
的高的交点， 则有（ ）．
A．理科数学.files/image034.gif)
B．理科数学.files/image036.gif)
C．理科数学.files/image038.gif)
D．理科数学.files/image040.gif)
5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的问题引起了全社会的关注。某市质量监督局为了保证人民的饮食安全要对超市中奶粉的质量进行专项抽查，已知该地区超市中卖的各种类型的奶粉的分布情况如下：老年人专用奶粉300种，普通奶粉240种，婴幼儿奶粉360种，现采用分层抽样的方法抽取150种进行检验，则这三种型号的奶粉依次应抽取（ ）
A. 18种，12种，24种 B. 7种，30种，10种
C. 50种，40种，60种 D. 8种，21种，18种
6、设正数理科数学.files/image042.gif)
，则“理科数学.files/image044.gif)
”是“理科数学.files/image046.gif)
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7、奇函数理科数学.files/image048.gif)
在理科数学.files/image050.gif)
上的解析式为理科数学.files/image052.gif)
，则不等式理科数学.files/image054.gif)
的解集为（ ）
A．理科数学.files/image056.gif)
B． 理科数学.files/image058.gif)
C．理科数学.files/image060.gif)
D．理科数学.files/image062.gif)
8、已知理科数学.files/image064.gif)
的展开式中理科数学.files/image066.gif)
的系数与理科数学.files/image068.gif)
的展开式中理科数学.files/image070.gif)
的系数的和为（ ）．
A．理科数学.files/image072.gif)
B．理科数学.files/image074.gif)
C．理科数学.files/image076.gif)
D．理科数学.files/image078.gif)
9、为得到函数理科数学.files/image080.gif)
的图像，可将函数理科数学.files/image082.gif)
的图像向左平移理科数学.files/image084.gif)
个单位长度或向右平移理科数学.files/image086.gif)
个单位长度（理科数学.files/image088.gif)
均为正数），则理科数学.files/image090.gif)
的最小值是（ ）
A．理科数学.files/image092.gif)
B．理科数学.files/image094.gif)
C. 理科数学.files/image096.gif)
D．理科数学.files/image098.gif)
10、抛物线理科数学.files/image100.gif)
的焦点为理科数学.files/image102.gif)
，其上的动点理科数学.files/image104.gif)
在准线上的射影为理科数学.files/image106.gif)
，若理科数学.files/image108.gif)
，则的横坐标是（ ）
Ａ．理科数学.files/image111.gif)
Ｂ．理科数学.files/image113.gif)
Ｃ．理科数学.files/image115.gif)
Ｄ．理科数学.files/image117.gif)
理科数学.files/image119.jpg)
11、在三棱锥理科数学.files/image121.gif)
中，理科数学.files/image123.gif)
，理科数学.files/image125.gif)
，则下面一定成立的是（ ）
A. 理科数学.files/image127.gif)
B.理科数学.files/image129.gif)
C.理科数学.files/image131.gif)
D. 理科数学.files/image133.gif)
12、下表为第29届奥运会奖牌榜前10名，设理科数学.files/image135.gif)
表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项的奖牌数中任取不同两个构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名：
理科数学.files/image137.jpg)
首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按理科数学.files/image141.gif)
值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是（ ）
A．15 B．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
13、已知函数理科数学.files/image144.gif)
的反函数为理科数学.files/image146.gif)
，若理科数学.files/image148.gif)
理科数学.files/image150.gif)
，则a = .
14、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为 .
15、将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为理科数学.files/image152.gif)
的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，的值为 .
16、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点理科数学.files/image156.gif)
,理科数学.files/image158.gif)
，若其欧拉线方程为理科数学.files/image160.gif)
，则顶点C的坐标是
.
17、（本小题满分10分）
设理科数学.files/image162.gif)
的内角理科数学.files/image164.gif)
所对的边长分别为理科数学.files/image166.gif)
，且理科数学.files/image168.gif)
．
（1）求证：理科数学.files/image170.gif)
；
（2）当理科数学.files/image172.gif)
时，求理科数学.files/image174.gif)
；
18、（本小题满分12分）
第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是理科数学.files/image176.gif)
．
（1）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（2）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率．
（3）（只理科作）设随机变量理科数学.files/image178.gif)
为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求的分布列及期望
19、（本小题满分12分）
理科数学.files/image180.gif)
如图，已知理科数学.files/image182.gif)
平面理科数学.files/image184.gif)
，理科数学.files/image186.gif)
平面理科数学.files/image187.gif)
，三角形为等边三角形，
理科数学.files/image189.gif)
，为理科数学.files/image192.gif)
的中点
（1）求证：理科数学.files/image194.gif)
平面理科数学.files/image196.gif)
；
（2）求证：平面理科数学.files/image198.gif)
平面理科数学.files/image200.gif)
；
（3）求二面角理科数学.files/image202.gif)
的大小。
20、（本小题满分12分）
设函数理科数学.files/image204.gif)
，
（1）若存在理科数学.files/image206.gif)
使不等式理科数学.files/image208.gif)
能成立，求实数理科数学.files/image210.gif)
的最小值；
（2）若关于的方程理科数学.files/image213.gif)
在理科数学.files/image215.gif)
上恰有两个不等实根，求实数理科数学.files/image217.gif)
的取值范围.
21、（本小题满分12分）
已知椭圆理科数学.files/image219.gif)
的右准线方程为理科数学.files/image221.gif)
，右焦点到上顶点的距离为理科数学.files/image224.gif)
，点理科数学.files/image226.gif)
是线段理科数学.files/image228.gif)
上的一个动点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线理科数学.files/image232.gif)
与椭圆交于理科数学.files/image234.gif)
、理科数学.files/image236.gif)
两点,使得理科数学.files/image238.gif)
,并说明理由.
22、（本小题满分12分）
在数列理科数学.files/image240.gif)
中，a1=2，b1=4，且理科数学.files/image242.gif)
成等差数列，理科数学.files/image244.gif)
成等比数列（理科数学.files/image246.gif)
）
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：理科数学.files/image248.gif)
．
2009届先知模拟卷数学试题（一）
答案解析及评分标准
1、B 理科数学.files/image250.gif)
，理科数学.files/image252.gif)
，故理科数学.files/image254.gif)
2. B 理科数学.files/image256.gif)
3. C 因理科数学.files/image258.gif)
，得理科数学.files/image260.gif)
，理科数学.files/image262.gif)
，得理科数学.files/image264.gif)
，则理科数学.files/image266.gif)
，理科数学.files/image268.gif)
，
则理科数学.files/image270.gif)
4．Ｄ 点是理科数学.files/image273.gif)
的高的交点，则 理科数学.files/image275.gif)
因此理科数学.files/image277.gif)
∴理科数学.files/image279.gif)
同理可得: 理科数学.files/image281.gif)
,∴
5、C 根据分层抽样的知识可知，抽样比为理科数学.files/image283.gif)
，则老年人专用奶粉应该抽取300理科数学.files/image285.gif)
50种，普通奶粉24040种，婴幼儿奶粉36060种.从而可知答案选C．
6. A 理科数学.files/image287.gif)
，平方得， 但反之无法推出，故是充分而不必要条件
7、B 根据奇函数图像关于原点对称，观察图像即可．
8．Ｂ 所求和为理科数学.files/image289.gif)
．
9、B 由周期性可知理科数学.files/image291.gif)
，理科数学.files/image293.gif)
，理科数学.files/image295.gif)
，
则理科数学.files/image297.gif)
，易知当理科数学.files/image299.gif)
时，理科数学.files/image301.gif)
10、A 理科数学.files/image303.gif)
，故理科数学.files/image305.gif)
，由抛物线定义可知理科数学.files/image307.gif)
，故理科数学.files/image309.gif)
是等边三角形，必有理科数学.files/image311.gif)
，说明F在理科数学.files/image313.gif)
的垂直平分线上，故理科数学.files/image315.gif)
，得M的横坐标是
11、B 易知理科数学.files/image317.gif)
，理科数学.files/image319.gif)
， 理科数学.files/image321.gif)
,由理科数学.files/image323.gif)
，故理科数学.files/image325.gif)
，理科数学.files/image327.gif)
，故
12、D 提示：分类讨论：若为金牌，3种排序中，中国均第1；若为银牌，在银牌-金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中，中国排第2或第3；若为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2，在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若为总数，则3种排列中国均第2；故在所有的排序中，中国的排名之和为理科数学.files/image330.gif)
，选D
13．6 理科数学.files/image332.gif)
， ∴理科数学.files/image334.gif)
，∴理科数学.files/image336.gif)
.
14．pa3 以棱长为a的正四面体的四个顶点为顶点，可以补成棱长为a的正方体
，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的，即R=a，所以V球＝p(a)3＝pa3.
15． 理科数学.files/image338.gif)
设对角线为，则理科数学.files/image341.gif)
，根据二次函数单调性可知当理科数学.files/image343.gif)
时有最小值，且理科数学.files/image345.gif)
，是符合实际情况的
16、理科数学.files/image347.gif)
AB中点为（1，2），直线AB的垂直平分线方程为理科数学.files/image349.gif)
，将其与欧拉线方程联立，解得外心（理科数学.files/image351.gif)
，1），设C(a，b)，则重心理科数学.files/image353.gif)
，有理科数学.files/image355.gif)
与理科数学.files/image357.gif)
，联立得理科数学.files/image359.gif)
或理科数学.files/image361.gif)
（舍）．
17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，
可得理科数学.files/image364.gif)
即理科数学.files/image366.gif)
，故； 5分
（2）理科数学.files/image368.gif)
，
故理科数学.files/image370.gif)
，
得理科数学.files/image372.gif)
，因理科数学.files/image374.gif)
，故理科数学.files/image376.gif)
，于是理科数学.files/image378.gif)
，
所以当时，理科数学.files/image380.gif)
10分
18.(12分)解：（1）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件，则的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人个，理科数学.files/image384.gif)
，那么理科数学.files/image386.gif)
，解得，即来自美国的2人，来自英国的4人．4分
（2）记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件理科数学.files/image389.gif)
，那么理科数学.files/image391.gif)
，
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是理科数学.files/image393.gif)
．理8分文12分
（3）（只理科作）理科数学.files/image395.gif)
的所有可能值为0，1，2，
理科数学.files/image397.gif)
，理科数学.files/image399.gif)
，理科数学.files/image401.gif)
故有分布列
理科数学.files/image403.gif)
0
1
2
P
理科数学.files/image406.gif)
理科数学.files/image409.gif)
从而理科数学.files/image411.gif)
（人）理12分
19．(12分)（1）证明：取理科数学.files/image413.gif)
的中点理科数学.files/image415.gif)
，连理科数学.files/image417.gif)
，
∵为的中点
∴理科数学.files/image419.gif)
，而平面，平面，
理科数学.files/image422.jpg)
故理科数学.files/image424.gif)
，又理科数学.files/image426.gif)
，
∴四边形理科数学.files/image428.gif)
为平行四边形
∴理科数学.files/image430.gif)
,又理科数学.files/image432.gif)
所以平面 3分
（2）∵理科数学.files/image435.gif)
为等边三角形，∴理科数学.files/image437.gif)
，而理科数学.files/image439.gif)
故理科数学.files/image441.gif)
平面 5分
∵理科数学.files/image443.gif)
，∴理科数学.files/image445.gif)
平面
所以平面平面 7分
（3）在平面内作理科数学.files/image448.gif)
交于理科数学.files/image451.gif)
，在平面内作理科数学.files/image454.gif)
交理科数学.files/image456.gif)
于，连理科数学.files/image459.gif)
∵平面平面 ∴理科数学.files/image461.gif)
平面，由三垂线定理得理科数学.files/image464.gif)
∴理科数学.files/image466.gif)
为二面角的平面角
9分
设理科数学.files/image468.gif)
，则理科数学.files/image470.gif)
，
∴理科数学.files/image472.gif)
10分
又理科数学.files/image474.gif)
，其中理科数学.files/image476.gif)
∴理科数学.files/image478.gif)
∴理科数学.files/image480.gif)
理科数学.files/image482.jpg)
所以二面角的大小为理科数学.files/image484.gif)
（或理科数学.files/image486.gif)
）
.12分
方法二：
设，则；由已知得理科数学.files/image488.gif)
建立如图所示的坐标系理科数学.files/image490.gif)
，
则：理科数学.files/image492.gif)
∵为的中点，∴理科数学.files/image494.gif)
2分
（1）证明：理科数学.files/image496.gif)
3分
∵理科数学.files/image498.gif)
，A不在平面内，∴平面 4分
（2）∵理科数学.files/image502.gif)
5分
∴理科数学.files/image504.gif)
，∴理科数学.files/image506.gif)
6分
∴理科数学.files/image508.gif)
平面，又平面
∴平面平面 7
（3）设平面的法向量为理科数学.files/image511.gif)
由理科数学.files/image513.gif)
可得：理科数学.files/image515.gif)
设平面理科数学.files/image517.gif)
的法向量为理科数学.files/image519.gif)
由理科数学.files/image521.gif)
可得：理科数学.files/image523.gif)
9分
∴理科数学.files/image525.gif)
∴二面角的大小为 12分
20.(12分)
解：（1）设在理科数学.files/image529.gif)
的最小值为理科数学.files/image531.gif)
，依题意有理科数学.files/image533.gif)
，
理科数学.files/image535.gif)
， 当理科数学.files/image537.gif)
时理科数学.files/image539.gif)
，故在为增函数，
理科数学.files/image541.gif)
，于是理科数学.files/image543.gif)
，即实数的最小值为1 6分
（2）依题意得，理科数学.files/image545.gif)
在上恰有两个相异实根，
令理科数学.files/image548.gif)
，理科数学.files/image550.gif)
，
当理科数学.files/image552.gif)
时，理科数学.files/image554.gif)
，当理科数学.files/image556.gif)
时，理科数学.files/image558.gif)
故理科数学.files/image560.gif)
在上是减函数，在理科数学.files/image563.gif)
上是增函数，8分
算得理科数学.files/image565.gif)
，理科数学.files/image567.gif)
，即理科数学.files/image569.gif)
，
故应有理科数学.files/image571.gif)
理科数学.files/image573.gif)
，故理科数学.files/image575.gif)
12分
21.(12分)解.：(1)由题意可知理科数学.files/image577.gif)
，又理科数学.files/image579.gif)
，解得理科数学.files/image581.gif)
，
理科数学.files/image583.gif)
椭圆的方程为理科数学.files/image585.gif)
；4分
（2）由（1）得理科数学.files/image587.gif)
，所以理科数学.files/image589.gif)
.假设存在满足题意的直线，设的方程为
理科数学.files/image593.gif)
，代入，得理科数学.files/image595.gif)
，
设理科数学.files/image597.gif)
，则理科数学.files/image599.gif)
①
理科数学.files/image601.gif)
，6分
理科数学.files/image603.gif)
，
理科数学.files/image605.gif)
而理科数学.files/image607.gif)
的方向向量为理科数学.files/image609.gif)
，
理科数学.files/image611.gif)
;
于是当理科数学.files/image613.gif)
时,理科数学.files/image615.gif)
，也即存在这样的直线;
当理科数学.files/image618.gif)
时,理科数学.files/image620.gif)
不存在，即不存在这样的直线 .12分
22.解：（1）由条件得理科数学.files/image623.gif)
，由此可得
理科数学.files/image625.gif)
．
猜测理科数学.files/image627.gif)
．
用数学归纳法证明：
①当理科数学.files/image629.gif)
时，由上可得结论成立．
②假设当理科数学.files/image631.gif)
时，结论成立，即
理科数学.files/image633.gif)
，
那么当理科数学.files/image635.gif)
时，
理科数学.files/image637.gif)
．
所以当时，结论也成立．
由①②，可知理科数学.files/image639.gif)
对一切正整数都成立．6分
（2）理科数学.files/image641.gif)
．
理科数学.files/image643.gif)
时，由（1）知理科数学.files/image645.gif)
．
故理科数学.files/image647.gif)
理科数学.files/image649.gif)
理科数学.files/image651.gif)
综上，原不等式成立．12分
