1．设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

2．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．“”是“”的（     ）条件

A．充分不必要     B．必要不充分    C．充要      D．既不充分也不必要

4．在边长为1的等边中，设（    ）

  A．           B．          C．          D．

5．下列命题错误的是（  ）

       A．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。

       B．对于命题，使得；则是，均有。

     C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”。

D．“”是“”的充分不必要条件。

6．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的

等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体

的体积是（     ）

A．      B．   C．      D．

7．直线与圆的位置关系是（   ）

    A．相离          B．相交           C．相切            D．不确定

8. 设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（    ）

A．2                 B．3                 C．1和3             D．2和4

9．已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率为（    ）

A．4              B．              C．－4                 D．－14

10. 已知函数的定义域为[―2，，部分对应值如下表。为的导函数，函数的图象如右图所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若两正数满足，则的取值范围是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非选择题（共100分）

11. 函数的图像在点M处的切线方程是,=          。

12. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为，则循环体的判断框内①处应填                    。

13. 以、为焦点的椭圆＝１（）上顶点P，

当=120°时，则此椭圆离心率e的大小为      。

★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）

14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝        ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的

切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB =3．

则BD的长为       ．

（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）

16．（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小题满分14分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米。

       （Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

18．（本小题满分12分）

   （1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒。当你到达路口时，求不是红灯的概率。

（2）已知关于x的一元二次函数设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率。

19．（本小题满分14分）

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

20．（本小题满分14分）

若椭圆过点，离心率为，⊙O的圆心在原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.

  (1) 求椭圆的方程；

（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的方程。

21．（本小题满分14分）

已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ) 当时，试证明；

(Ⅲ)设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

惠州市2009届高三模拟考试数学试题

（文科）评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

B

A

A

D

D

A

A

B

1、解析：，所以对应的点的坐标为，故选D。

2、解析：抽取学生数为（人），故选A。

3、解析： ，故选B。

4、解析：，故选A。

5、解析：命题的否定是只否定结论，∴选A.

6、解析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， ，∴选D．

7、解析：圆心（0，0）到直线的距离，

圆的半径为1，可能相切或相交。故选D。

8、解析：P点取法总共有9种，由图知直线截距为2时经过的点最多；

∴选A．

9、解析：∵是等差数列，，，

∴，，∴，选A.

10、解析：由题意，函数的图象大致如图，

 ，

则由不等式组所表示的区域如图所示，

的取值范围即区域内的点与

连线的斜率的取值范围，，故选B。

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

11、4     12、3（注:答题卷填的是也给5分）   13、   14、   15、4

11、解析：∵切点既在曲线上也在切线上，∴，，∴=4

12、解析：=1时进入循环此时=2¹=2，=2时再进入循环此时=2²=4，=3时再进入循环此时=2⁴=16，∴=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填3。

（注:答题卷填的是也给5分）

13、解析：当=120°时，=30°，∴。∴填．

14、解析：在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆 和直线，作图易知＝。

15、解析：由切割线定理得:， ， ，．

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期为，        …………………………………………………… 4分

最大值为6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小题满分14分）

解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，      ………………2分

       要耗油（升）。              ……4分

 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。……6分

    （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

         依题意得

…………8分

     令得 ………10分

         当时，是减函数；

         当时，是增函数。

当时，取到极小值                ………………12分

         因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。…14分

18．（本小题满分12分）

解：（1）基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的时间分别为30秒、5秒和40秒，设它们的概率的分别为P₁，P₂，P₃，

所以不是红灯的概率P=1- P₁= ………………… 6分

（2）∵函数的图象的对称轴为

要使在区间上为增函数，

当且仅当>0且       …………………………………………8分

若=1则=－1，

若=2则=－1，1；

若=3则=－1，1；                …………………………………………10分

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为            …………………………………………12分

19.(本小题满分14分)

（1）证明：连结BD.在长方体中，对角线.              ……………2分

又 E、F为棱AD、AB的中点， ∴. ∴.    ……………4分

又B₁D₁平面，平面，∴EF∥平面CB₁D₁.     ……………7分

（2） 在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

∴AA₁⊥B₁D₁.                                        ………………………9分

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴ B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．         ……………14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）由题意得： ，         ………………………4分

所以椭圆的方程为      …………………………………………6分

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大，       ……8分

因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)      ……10分

    又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为  ……11分

    即  可得              ……………………12分

所以直线PA的方程为：   …………14分

21．(本小题满分14分)

解: (Ⅰ)由题意，，得∴  …………1分

当时， ，

    ∴                      ………………3分

∴数列是首项，公比为的等比数列，∴  ………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知当时，        …………………5分

∵，∴   …………………………………………………6分

即     …………………………………………………………………………7分

(Ⅲ)∵

     ＝

=      ………………………………9分

∵     ………………………………………………10分

      ∴＝ …12分

       由得 -------()

      ∵()对都成立 ∴  ∵是正整数，∴的值为1,2,3。

      ∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3.  ……14分