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1．已知复数
，则
等于
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“
”的
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．
是
内的一点，
，则的面积与
的面积之比为
A．2 B．
D．6
4．已知直线
与平面
成
角，直线
，若直线在内的射影与直线
也成角，则与所成的角是
A．
B． C．
D．
5．函数
的反函数是
A．
B．
C．
D．
（x∈R）
6．已知过抛物线
焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是
A．
B．
C．
D．
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为
，值域为
的“孪生函数”共有
A．15个 B．12个 C．9个 D．8个
8．已知
是周期为
的函数，当
时，
，则方程
的解集为
A．
B．
C．
D．
9．若圆
上有且只有两个点到直线
的距离等于
，则半径
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．下列各函数中值域为（
）的是
A．
B．
C．
D．
11．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点在双曲线上，且
，则此双曲线离心率的最大值为
A． B．
C．2 D．
12．已知
是定义在R上的不恒为零的函数，若对于任意实数
都有
，则
A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数
A．既是奇函数，又是偶函数 D．既非奇函数，又非偶函数
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
，且
，则
=
。14．
的展开式中
的系数为
，（用数字作答）
15．已知
是单位向量，且满足
，则向量
在方向上的投影是
16．已知点
在不等式组
表示的平面区域内运动，则
的最小值为
。
17．（本小题满分10分）
中，角
所对的边分别为
且
（1）求角的
大小
（2）若向量
，向量
，求的值
18．（本小题满分12分）
如图，四面体
中，
是
的中点，
=
=
==
，
。
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小。
19．（本小题满分12分）
2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为
，中国乒乓球女队一枚金牌的概率均为
（1）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；
（2）记中国乒乓球队获得金牌的数为
，按此估计的分布列和数学期望
。
20．（本小题满分12分）
已知函数
．
（1）当=2时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数在
上为单调函数，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
直角三角形
的直角顶点
为动点，
，
为两个定点，作
，动点
满足
=
，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与
轴正半轴交点为
。
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在方向向量为
的直线，与曲线交于
两点，且
与
的夹角为
？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由。
22．（本小题满分12分）
已知
，
为数列{
）的前
项和，数列{）满足
，且函数对于任意的
都满足
。
（1）求函数的方程式
（2）求数列
的通项公式；
（3）若
，求证：
2008年四校联考第一次高考模拟考试
数学试卷（理工类）评分标准
17．（本题满分10分）
（1）∵
∴
，…………………（2分）
∴
，∴
∴
…（4分）
（2）∵
∴
，即
又
，∴
，即
②………6分
由①②可得
，∴
……………………………（8分）
又
∴
，∴
………（10分）
18．（本题满分12分）
方法一：
（1）∵
∴
…（2分）
∵
∴
…（4分）
∴
平面
∵
平面，∴平面
平面……………………（6分）
（2）∵平面
平面
作
于点，连结
，
由三垂线定理可知
为所求二面角的平面角． ………………………（9分）
在
中，由已知得
．
所求二面角大小为
…………………12分
方法二：
（1）同方法一．
（2）以
为原点，以
为
轴，
为轴，
为
轴建立空间直角坐标系。
，
，
∴
。
∵平面，∴为平面的法向量…………………………（8分）
设平面
的法向量为
，
，
则
，∴
令
，得
是平面的一个法向量…………（10分）
∴
，∴所求二面角大小为
…………（12分）
19．（本题满分12分）
（1）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件，那么，
=
=
（2）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量，
它的所有可能取值为0，1，2，3，4（单位：枚）
那么
则概率分布为：
0
1
2
3
4
那么，所获金牌的数学期望
（枚）
答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为
枚。
20．（本题满分12分）
（1）定义域
，
，
即
…………………（2分）
由
得
或>1，由
得
或
，
所以的单调递增区间为
和
的单调递减区间为和（
）和，
的单调递减区间为
和（0，1）
（0，1）
1
+
0
―
―
0
+
增
极大值
减
减
极小值
增
极大值
，极小值
。
（2）若为增函数，则当
时，
恒成立，
即
， 变形得
当时，
，所以
…………………（9分）
若为减函数，则当
时，
恒成立
即
，变形得
当时，
，所以
……………………（11分）
综上得或
21．（本题满分12分）
（1）由题意知，点在以
为直径的圆上，且除去，两点
即点坐标满足方程：
设点
，
，则，
，
由
知，
即
。
代入①式得
，即
，
∴曲线的方程为．
（2）由（1）知，点
，假设直线存在，可设：
，设
不妨令则由
得
……………………（6分）
∴
∴
………………………………（8分）
则
=
=
=
=
，
则
， 即
，
解得
当
时，向量与的夹角为60。，不合题意舍去：
当
时，向量与的夹角为，符合题意．
综上，存在满足条件的直线
……………………………（12分）
22．（本题满分12 分-）
（1）把
代入
中得
…………（2分）
（2），①
，②
①式减②式得，
，变形得，
又因为
，所以，时上式也成立．…………………（5分）
所以，数列
是以1为首项，以
为公比的等比数列，
所以
……………………………（6分）
（3）
∵
……
……
。………9分
=
=
=
所以
，即
