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5. 〖理科、文科〗 如图，已知正三棱柱
―
的底面边长是
，
是侧棱
的中点，直线
与侧面
所成的角为
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
（Ⅰ）证明：设正三棱柱―的侧棱长为
．取
中点
，连
．
是正三角形，
．
又底面
侧面，且交线为．
侧面．
连
，则直线与侧面所成的角为
．
在
中，
，解得
．
此正三棱柱的侧棱长为
．
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解：解法1：过作
于
，连
，
侧面
．
为二面角的平面角．
在
中，
，又
， 
．
又
在
中，
．
故二面角的大小为
．
解法2：（向量法，见后）
（Ⅲ）解：解法1：由（Ⅱ）可知，
平面
,平面
平面
，且交线为，过作
于
，则
平面．
在中，
．
为中点，点到平面的距离为
．
解法2： （思路）等体积变换:由
可求．
解法3： （向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系
．
则
．
设
为平面的法向量．
由
得
．
取
又平面
的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为
．
（Ⅲ）解法3：由（Ⅱ）解法2，
点到平面的距离
＝
．
注：若为了看图方便，也可以把图调整后，标好字母证明之.
6. 〖理科、文科〗如图，在四棱锥E－ABCD中,AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200．
(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面ABE ；
(Ⅱ)求点C到平面ADE的距离.
解法1:取BE的中点O,连OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，
则由已知条件有:
,
,
,
设平面ADE的法向量为ｎ=
，
则由ｎ・
及ｎ・
可取ｎ
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为m＝
.
∵ｎ・m・=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE.
（Ⅱ）点C到平面ADE的距离为
解法2:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,DF.则
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
从而平面ADE⊥平面ABE.
（Ⅱ）∵CD ,延长AD, BC交于T
则Ｃ为ＢT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的
.
过B作BH⊥AE，垂足为H.∵平面ADE.⊥平面ABE.∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
从而点C到平面ADE的距离为
或∥ FD, 点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.
或取A B的中点M.易证
∥ DA.点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.
四、三角函数
7．〖理科、文科〗已知三点
,其中
.
(Ⅰ)若
,求角
的值;
(Ⅱ)若
,求
的值.
解:(Ⅰ) 
.
∵,∴
,即
,
化简得
,∴
.
∵,∴
.
(Ⅱ) 
,
,
∴
8．〖理科、文科〗已知：
为实数，函数
∈R.
（Ⅰ）设
求
的取值范围；
（Ⅱ）当
的最大值是3时，求的值.
解：
的取值范围是
令
（1）
的最大值为
依题意
（满足
）
（2）
时的最大值为
依题意
，所以，
不满足题意.
(3)
时, 的最大值为
依题意
,
,满足.
由以上知：
.
五、概率
9. 〖理科〗某保险公司的统计表明，新保险的汽车司机中可划分为两类：第一类人易出事故，其在一年内出事故的概率为0.4，第二类人为谨慎的人，其在一年内出事故的概率为0.2.假定在新投保的3人中有一人是第一类人，有两人是第二类人.一年内这3人中出现事故的人数为记为
.（设这三人出事故与否互不影响）
（Ⅰ）求三人都不出事故的概率；
（Ⅱ）求的分布列及数学期望.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
0
1
2
3
p
10. 〖理科、文科〗三名学生进行投篮测试，投中两次就停止投篮记为过关，每人最多可投4次.已知每位同学每次投中的概率均为，且各次投篮投中与否互不影响.
(Ⅰ)求每位同学过关的概率；
(Ⅱ)求恰有两位同学过关的概率；
（Ⅲ）求至少有一位同学过关的概率.
解：(Ⅰ)设每位同学过关的概率记为p
(Ⅱ) 设恰有两位同学过关的概率为
（Ⅲ）设至少有一位同学过关的概率
六、不等式
11、〖理〗已知关于的不等式
的解集为
，且
.求
解：易知对任意的
，均有
的取值范围是
当
时，有
，故
，
当
时，
,故
，
当
时，有
,故
，
因此，当时，
，
当
时，
，
当
时，
.
12、〖理科、文科〗若实数
，解关于的不等式
.
解：
当
时，有，故不等式的解集为
，
当时，不等式转化为
,故不等式的解集为
，
当时，有
,故不等式的解集为
.
七、解析几何
13. 〖理科、文科〗已知两定点
，动点M满足
.
(Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程；
(Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且
，直线AE与BF交于点
，求证：
为定值；
(Ⅲ) 〖理科〗在第（Ⅱ）问的条件下，求证：过点
和点E的直线是曲线Q的一条切线.
（Ⅳ）在第（Ⅱ）问的条件下，试问是否存在点E使得
（或
），若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设动点
，因为
所以
或
化简得：
（Ⅱ）由可设点
则由A、P、E三点共线可得
，同理可得：
，两式相乘得：
，又因为
，所以=3
（Ⅲ）点E处曲线Q的切线的斜率为
，则切线方程为
，AE、BF的方程为
，
，则
，所以
在上述切线上，即过点
和点E的直线是曲线Q的一条切线.
（Ⅳ） 先证：
（其中用到
代换）
由此可得：
.
要使，则只需
，即
.而
，因此不存在点E使得成立.
另解：同前可得，要使，则只需
，即
，化简得
，显然不成立.
14〖理科、文科〗如图，已知
，N、P两点分别在
轴和轴上运动，并且满足
，
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若正方形ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上，求正方形ABCD面积的最小值.
解（Ⅰ）
由已知
（Ⅱ）如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A、B在x轴的下方（包括x轴），记A、B、C的坐标分别为
，其中
并设直线AB的斜率为k（k＜0）
则有
……①
又因为A、B、C在抛物线
上，故有
代入①式得
……②
∵
即
∴
∴
将②代入可得：
即
，
得
正方形的边长为
易知
所以
所以正方形ABCD面积的最小值为
.
祝同学们考试顺利！
