2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（新课程理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，
，则tan 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设函数
若f(x0)>1，则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）
（0，＋∞） （D）（－∞，－1）（1，＋∞）
（4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
，
，则P的轨迹一定通过△ABC的
（A）外心 （B）内心
（C）重心 （D）垂心
（5）函数
，x∈(1，+∞)的反函数为
（A）
，x∈(1，+∞) （B）
，x∈(1，+∞)
（C）
，x∈(－∞，0) （D），x∈(－∞，0)
（6）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设a>0，f(x)＝ax2+bx+c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为
，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
|m－n|＝
（A）1 （B）
（C）
（D）
（9）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射CD、DA到AB和上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）．设P4的坐标为(x4，0)．若1< x4<2，则tgθ的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）
（A）3 （B）
（C）
（D）6
（12）一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
（A）3p （B）4p （C）
（D）6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）
展开式中x9的系数是
．
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_______，_______，_________辆．
（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不
同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）
（16）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图表序号）
（17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝2sin x (sin x+cos x)．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最大值；
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)的区间
上的图象
（18）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱
AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离．
（19）（本小题满分12分）
设a>0，求函数
（x∈(0，+∞)）的单调区间．
（20）（本小题满分12分）
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵对员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为x、h．
（Ⅰ）求x、h的概率分布；
（Ⅱ）求Ex、Eh．
（21）（本小题满分12分）
已知常数a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．经过原点O以c+li为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2lc为方向向量的直线相交于点P，其中l∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得| PE | + | PF |为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
（22）（本小题满分14分）
设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1（n∈N）．
（Ⅰ）证明对任意n≥1，
；
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围．
2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）B （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
（13）
（14）6，30，10 （15）120
（16）①④⑤
三、解答题：
（17）本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能，满分12分．
解（I）
所以函数
的最小正周期为π，最大值为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
故函数
在区间
上的图象是
（18）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想像能力和推理运算能力，满分12分．
解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵ D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF为矩形．
连结DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF．
在直角三角形EFD中，
，
∵ EF＝1，∴
……4分
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ A1B与平面ABC所成的角是
（Ⅱ）连结A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF
AB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
设A1到平面AED的距离为h．
则 
又 
∴ 
即A1到平面AED的距离为
解法二： （Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角．
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA＝2a，则 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，
．
∴ 
，
．
∴ 
，解得 a＝1．
∴ 
，
．
∴ 
．
A1B与平面ABD所成角是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．
，
，
∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，
∴ 点A1在平面AED的射影K在AE上．
设 
，
则 
．
由 
，即l+l+l－2＝0，
解得 
．
∴ 
．
∴ 
．
故A1到平面AED的距离为
．
（19）本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．满分12分．
解：
．
当a>0，x>0时
f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，
f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．
（?）当a > 1时，对所有x > 0，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此时f(x)在（0，+∞）内单调递增．
（?）当a＝1时，对x≠1，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增．
又知函数f(x)在x＝1处连续，因此，函数f(x)在（0，+∞）内单调递增．
（?）当0<a<1时，令f ¢(x)>0，即
x2+(2a－4)x+a2>0，
解得
，或
．
因此，函数f(x)在区间
内单调递增，在区间
内也单调递增．
令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 < 0，
解得
．
因此，函数f(x)在区间
内单调递减．
（20）本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）x，h的可能取值分别为3，2，1，0．
，
，
，
；
根据题意知x+h=3，所以
，
，
，
．
（Ⅱ）
；
因为 x +h＝3，
所以 
．
（21）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分．
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，
∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．
因此，直线OP和AP的方程为
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)=－2a2x2，
整理得 
．
①
因为a>0，所以得：
（?）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（?）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点：
（?）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点．
（22）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分．
（Ⅰ）证法一：（?）当n＝1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（?）假设当n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么 
，
也就是说，当n＝k+1时，等式也成立．
根据（?）和（?），可知等式对任何n∈N+成立．
证法二：如果设an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，
用
代入，可解出
．
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列．
∴ 
（n∈N+），
即 
．
（Ⅱ）解法一：由an通项公式
，
∴ an>an－1（n∈N+）等价于
（n∈N+）．
①
（?）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
②
②式对k＝1，2，…都成立，有
．
（?）当n＝2k，k＝1，2，…时，①式即为
，
即为 
．
③式对k＝1，2，…都成立，有
．
②
综上，①式对任意n∈N+成立，有
．
故a0的取值范围为（0，
）．
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此 ．
下面证明当时，对任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通项公式
．
（?）当n＝2k－1，k＝1，2，…时，
＝0．
（?）当n＝2k，k＝1，2，…时，
≥0．
故a0的取值范围为（0，）．
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