将①代入②并化简得，，所以

于是

…………6分

设点P的坐标为则

消去参数k得     ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为………………8分

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

  ④               ⑤

④―⑤得，所以

当时，有      ⑥

并且    ⑦   将⑦代入⑥并整理得     ⑧

当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

………………8分

（2）解：由点P的轨迹方程知所以

……10分

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为……………………12分

注：若将代入的表达式求解，可参照上述标准给分.

（20）（I）解法一：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：

w=2000                                                                                          ……2分

因为w=2000，所以当时，w取得最大值．

所以乙方取得最大年利润的年产量吨                                       ……4分

解法二：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：

w=2000．                                                                                      ……2分

由，令0

得 ．

当t＜t₀时，＞0；当t＞t₀时，＜0，所以t=t₀时，w取得最大值．

因此乙方取得最大年利润的年产量（吨）．                            ……4分

（II）设甲方净收入为u元，则

u=st－0.002t²．                                                                                        ……6分

将代入上式，得甲方净收u与赔付价格s之间的函数关系式

                                                                                 ……8分

又，

令=0，得s=20．

当s＜20时，＞0；当s＞20时，＜0，所以s=20时，u取得最大值．

因此甲方向乙向要求赔付价格s=20(元/吨)时，获最大净收入．                 ……12分

注：若将代入u的表达式求解，可参照上述标准给分．

（21）本小题主要考查函数和不等式的概念，考查数学归纳法，以及灵活运用数学方法分析和解决问题的能力. 满分14分.

（1）解：由于的最大值不大于所以

             ①   ………………3分

又所以.  ②

由①②得………………6分

（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；

因时不等式也成立.

（ii）假设时，不等式成立，因为的

对称轴为知为增函数，所以由得

………………8分

于是有

                                                             …………12分

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分

证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，

………………8分

因所以

……12分

于是   因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分

证法三：（i）当n=1时，不等式成立；

（ii）假设时.

若则  ①…………8分

若≤a_k＜，则

0＜a_k＋1=＜．

＜                                                                                ②……12分

由①②知当n=k＋1时，不等式0＜a_n＜也成立．

根据（I）（II）可知，对任何n∈N*，不等式a_n＜成立． ……14分

（22）（I）解：由y=f(x)=ln(e^x＋a)得x=ln(e^y－a)，所以

y=f^－1(x)=ln(e^x－a)（x＞lna）．                                                                   ……3分

(II)解法一：由＜0得

＜m＜

即对于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒有

＜e^m＜                         ①

设t= e^x，u(t)=，u (t)=，于是不等式①化为

u(t)＜e^m＜u (t)  t∈[3a，4a]                        ②                       ……7分

当t₁＜t₂，t₁、t₂∈[3a，4a]时，

u(t₂)－u(t₁)=＞0

所以都是增函数.

因此当时，的最大值为的最小值为

而不等式②成立当且仅当即

，于是得 ………………12分

解法二：由得

设

于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分

由，注意到

故有，从而可均在

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

即 ………………12分