(2007·全国Ⅰ)两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如下图所示．在y＞0，0＜x＜a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y＞0，x＞a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B．在O点处有一小孔，一束质量为m、带电荷量为q(q＞0)的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮．入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度在0＜x＜a的区域中运动的时间与在x＞a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期．试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)．

　　　　　　  

答案：略
解析：

思路分析：如下图所示，粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为　　　　①

　　速度小的粒子将在x＜a的区域走完半圆，射到竖直屏上，半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a．

　　轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切(图中虚线)，OD=2a，这是水平屏上发亮范围的左边界．

　　速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和，C在y轴上，由对称性可知在x=2a直线上．

　　设为粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间，为在x＞a的区域中运动的时间．由题意可知

　　　

　　由此解得　　　　②

　　　　　　③

　　由②、③式和对称性可得

　　，

　　

　　所以

　　即为1/4圆周．因此，圆心在x轴上．

　　设速度为最大值时粒子的轨道半径为R，由直角△可得

　　，

　　由图可知，因此水平荧光屏发亮范围的右边界坐标为．

规律技巧总结：本题考查带电粒子在磁场中的运动，对考生的分析综合能力、应用数学知识的能力要求较高．


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