Question

如图所示，在x轴上方平面内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一离子源，可以在平行于纸面内向x轴上方（包括x轴）沿各个方向发射速率在0到υ_m之间、质量为m、电量为q的负离子．不计离子的重力和离子之间的相互作用力，试分析：
（1）若在t=0时刻发射的各种速率的离子仅沿+x方向，写出经过t=

πn

2qB

时这些离子所在位置的坐标y与x的关系式和范围．
（2）若在x轴的上方距离x轴d=

8mmv

5qB

处放一足够长的屏，屏与x轴平行，离子以最大速度υ_m向x轴上方各个方向发射，求这些离子打在屏上的范围．
（3）若从t=0时刻开始向x轴上方各个方向发射各种速率的离子，求从t=0到t=

πn

2qB

时间内所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积．

Answer 1

分析：（1）离子进入磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律求出半径，由t=

πn

2qB

，求出离子转过的角度，根据几何知识求出些离子打在屏上的范围．
（2）运用几何知识作出从t=0到t=

πn

2qB

时间内所有离子可能到达过的位置，再求出组成区域的最大面积．

解答：解：（1）离子进入磁场中做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
　　qvB=m

v2

R

解得最大半径R_m=

mv

qB

离子在磁场中运动的周期为T，则
T=

2πR

v

=

2πm

qB

因为t=

1

4

T，所以t时刻这些离子刚好转过90°角，设某一离子在此时刻的坐标为（x，y），则有
y=x，且0≤x≤

mv

qB

（2）离子以最大速度υ_m向x轴正方向发射时，将到达屏的最右端．  
L₁=

R 2 m -(d-Rm)2

=

4mv

5qB

离子与屏刚好相切时，将到达屏的最左端．
L2=

R 2 m -(d-Rm)2

=

4mv

5qB

离子打在屏上的范围为-

4mv

5qB

≤x≤

4mv

5qB

（3）将第（1）问中图中的OA段从沿-x轴方向顺时针方向旋转135°，在y轴上找一点C，以R_m为半径作圆弧，相交于O，则两圆弧及x轴所围成的面积即为所求的解，画出示意图如图．
由几何关系可求得此面积为
S=

3

8

π?2

R

2 m

+

1

4

π

R

2 m

-

1

2

R2=(π-

1

2

)

R

2 m

则：S=(π-

1

2

)(

mv

qB

)2
答：
（1）这些离子所在位置的坐标y与x的关系式y=x，且0≤x≤

mv

qB

．
（2）这些离子打在屏上的范围为-

4mv

5qB

≤x≤

4mv

5qB

．
（3）所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积S=(π-

1

2

)(

mv

qB

)2．

点评：此题考查运用几何知识研究带电粒子在磁场中圆周运动问题的能力，要加强训练，培养运用几何知识画轨迹的基本功．