Question

（20分）如图所示，光滑水平地面上方被竖直平面MN分隔成两部分，左边（包括竖直平面MN）有匀强磁场B，右边有匀强电场E₀（图中未标）。在O点用长为L＝5m的轻质不可伸长的绝缘细绳系一质量m_A＝0.02kg、带负电且电荷量q_A＝4×10^－4C的小球A，使其在竖直平面内以速度v_A＝2.5m/s沿顺时针方向做匀速圆周运动，运动到最低点时与地面刚好不接触。处于原长的轻质弹簧左端固定在墙上，右端与质量m_B＝0.01kg、带负电且电荷量q_B＝2×10^－4C的小球B接触但不连接，此时B球刚好位于M点。现用水平向左的推力将B球缓慢推到P点（弹簧仍在弹性限度内），推力所做的功是W＝2.0J，当撤去推力后，B球沿地面向右运动到M点时对地面的压力刚好为零，继续运动恰好能与A球在最低点发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C都可以看着质点），碰撞前后总电荷量保持不变，碰后瞬间匀强电场大小变为E₁＝1×10³ N/C，方向不变。g＝10m/s²。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向？
（2）匀强电场的电场强度E₀的大小和方向？
（3）整体C运动到最高点时绳对C的拉力F的大小？

Answer 1

（1）B＝25T，方向垂直纸面水平向外
（2）E₀＝5×10² N/C，方向竖直向下
（3）F＝1.5N

（1）设B球运动到M点时速度为v_B，根据能量守恒有
W＝, v_B＝20 m / s········································（1分）
B球运动到M点时对地面的压力刚好为零，则
q_Bv_BB＝m_Bg ·············（1分）  解得B＝25T···············（1分）
B球带负电，受洛伦兹力竖直向上，则磁场方向垂直纸面水平向外。··（1分）
（2）小球A在竖直平面内做匀速圆周运动，所以受到的电场力与重力大小相等、方向相反。即有q_AE₀＝m_Ag·····································（1分）
解得E₀＝5×10² N/C···········································（1分）
A球带负电，受到的电场力竖直向上，则电场方向竖直向下。·········（1分）
（3）设A、B碰后瞬间整体C带电荷量为q_c，质量为m­_c，速度为v_c，由动量守恒
q_c＝q_A＋q_B＝6×10^－4C，m_c＝m_A＋m_B＝0.03kg
m_Bv_B－m_Av_A＝m_c v_c·············································（1分）
解得v_c＝5m/s
设整体C受到电场力和重力的合力为F_合，在最低点做圆周运动需要的向心力为F_向，则F_合＝q_cE₁－m_cg＝0.3N，F_向＝＝0.15N, F_合＞F_向，所以，细绳将松驰，整体C不会做圆周运动到达最高点，而是从碰后开始做类平抛运动。·························································（2分）
设做类平抛运动的加速度为a，经过时间t在某点S将绳绷紧，对应的水平方向的距离为x，竖直方向的距离为y，如图，则

a＝F_合/m_c····（1分）      x＝v_ct ······（1分）
y＝·······························（1分）
且有x²＋(L－y)²＝L²或x²＋(y－L)²＝L² ····（1分）
解得a＝10 m/s²，t＝1s，x＝5m，y＝5m
由于x＝y＝L，某点S与O点在同一水平位置，C的水平速度变为零。（1分）
C从S点到最高点之间将做圆周运动，设在S点的竖直速度为v_s，到达最高点的速度为v，则v_s＝at,  v_s＝10m/s   ································（1分）
, v＝10m/s·····················（1分）
根据牛顿第二定律得F＋m_cg－q_cE₁＝······················（2分）
解得F＝1.5N·················································（1分）