Question

宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球（可视为质点），如图所示．当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
（2）月球的平均密度为多大？
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

Answer 1

（1）小球在最高点重力充当向心力：mg=m

v2

r

月球近地卫星最小发射速度：m′g=m′

v12

R

又：G

Mm′

R2

=m′g
解得：v1=

R r

v
（2）由：G

Mm

R2

=mg
得：M=

gR2

G

又：ρ=

M

V

=

M

4πR3 3

解得：ρ=

3v2

4πrRG

（3）对该卫星有：G

Mm1

(2R)2

=m1

4π2

T2

2R
解得：T=4π

2Rr v2

答：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为v1=

R r

v
（2）月球的平均密度为ρ=

3v2

4πrRG

（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为T=4π

2Rr v2