Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如图所示，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星 A的速率 v和运行周期 T.

(1)可见星A所受暗星 B的引力 F_A 可等效为位于 O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为 m₁、m₂，试求m′. (用m₁、m₂ 表示)

(2)求暗星B的质量m₂ 与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁ 之间的关系式.

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，运行周期T＝4.7π×10⁴ s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G＝6.67×10^－11  N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)[2006年高考·天津理综卷]

Answer 1

解析：(1)设 A、B的圆轨道半径分别为 r₁、 r₂ ，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有：

F_A＝m₁ ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

设A、B之间的距离为r，又r＝r₁＋r₂，由上述各式得：

r＝r₁

由万有引力定律，有：

F_A＝G

联立解得：F_A＝G

令F_A＝G

比较可得：m′＝.

　　(2)由牛顿第二定律，有：

 G＝m₁

可见星A的轨道半径r₁＝

将m′代入，可解得：＝.

(3)将m₁＝6m_s代入上式，得：

＝

代入数据得：＝3.5m_s

设m₂＝nm_s(n>0)，可得：

＝m_s＝3.5m_s

可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得：

m_s＝0.125m_s<3.5m_s

故n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s.由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

　　答案：(1)　(2)＝

(3)有可能