Question

（2007?厦门模拟）天文工作者观测到某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．若万有引力常量为G，求：
（1）该行星的平均密度；
（2）要在此行星的赤道上发射一颗质量为m的近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，则对卫星至少应做多少功？

Answer 1

分析：根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力可以列式求出行星的质量M，进一步求密度；在赤道上发射近地卫星，同样根据万有引力提供向心力求出卫星的发射速度，再根据动能定理求出发射卫星过程中所做的功．

解答：解：（1）卫星与行星之间的万有引力提供卫星绕行星作圆周运动的向心力：

GM行星m

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2
解得M行星=

4π2R23

GT22

又∵V行星=

4

3

πR13
∴ρ=

M行星

V行星

=

4π2R23 GT22

4 3 πR13

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）质量为m的人造卫星在靠近行星表面绕行时，可认为其轨道半径为R₁，设绕行速度为v，由万有引力提供向心力有：

GM行星m

R 2 1

=

mv2

R1

所以v=

GM行星 R1

把（1）中解得质量代入得：v=

4π2R23 T22R1

该人造卫星在此行星表面随行星一起自转：v0=

2πR1

T 1

发射卫星时至少应对它做的功为W，由动能定理得：
发射过程对卫星做的功等于卫星动能的增量：W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

=

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

答：（l）该行星的密度为

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

．
（2）要在此行星的赤道上发射一颗质量为m的近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，且设行星上无气体阻力，则对卫星至少应做功为：

2mπ2 R 3 2

T 2 2 R1

-

2mπ2 R 2 1

T 2 1

．

点评：解决问题的关键是万有引力提供圆周运动的向心力，另要知道相对地面的静止的物体是有和自转速度相同的初速度的这一点是解决本题第二问的关键．