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有一竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成，如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的，现在轨道最低点A放一个质量m的小球，并给小球一个水平向右的初速度v0，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，且又能沿BFA轨道回到A点，小球回到A点时轨道的压力为4mg．在求小球由BFA回到A点的速度vA时，甲同学的解法是：由于回到A点时对轨道的压力为4mg，故4mg=m
| vA2 |
| R |
| gR |
在求小球在A点的初速度v0时，乙同学的解法是：由于小球恰好到达B点，故小球在B点的速度为零，则有：
| 1 |
| 2 |
| gR |
试按以下要求作答：
（1）你认为甲、乙两同学的解法是否正确？若不正确，请给出正确解法．
（2）在小球由B点沿BFA轨道返回A点的过程中，求小球克服摩擦力做的功．
分析：甲同学的解法错误，在最低点，应该是径向的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．乙同学的解法也错误，小球在内轨道运动，最高点的临界情况是重力提供向心力，临界速度不是零．根据动能定理求出小球由B点沿BFA轨道返回A点的过程中小球克服摩擦力做的功．
解答：解：（1）甲同学的解法不正确
正确解法：
由于小球回到A点时轨道压力为4mg，则有：
4mg-mg=m
①
得vA=
．
乙同学的解法不正确
正确解法：
小球恰好到达B点时的速度不为零，设速度为vB，则有：
mg=m
②
由机械能守恒定律得：
mv02=
mvB2+mg•2R ③
由②③式解得：v0=
．
（2）在小球由B点沿BFA轨道返回到A点的过程中，由动能定理得：
mg•2R-W摩=
mvA2-
mvB2 ④
代入有关物理量得：
W摩=mgR
答：（1）甲乙同学的解法都错误．A点的速度为
，B点的速度为
．
（2）小球克服摩擦力做的功为mgR．
正确解法：
由于小球回到A点时轨道压力为4mg，则有：
4mg-mg=m
| vA2 |
| R |
得vA=
| 3gR |
乙同学的解法不正确
正确解法：
小球恰好到达B点时的速度不为零，设速度为vB，则有：
mg=m
| vB2 |
| R |
由机械能守恒定律得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由②③式解得：v0=
| 5gR |
（2）在小球由B点沿BFA轨道返回到A点的过程中，由动能定理得：
mg•2R-W摩=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
代入有关物理量得：
W摩=mgR
答：（1）甲乙同学的解法都错误．A点的速度为
| 3gR |
| gR |
（2）小球克服摩擦力做的功为mgR．
点评：解决本题的关键理清小球做圆周运动向心力的来源，知道临界情况，结合牛顿第二定律和动能定理综合求解．
