【题目】面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线EF上，则的最小值是（ ）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积＝1，从而可得PB×PC，故PB×PCcos∠BPC，由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．

从而，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．

解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离＝点A到BC的距离的一半，

∴△ABC的面积＝2△PBC的面积，而△ABC的面积＝2，∴△PBC的面积＝1，

又△PBC的面积PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC．

∴PB×PCcos∠BPC．

由余弦定理，有：BC2＝BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．

显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．

∴PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC

令y，则y′

令y′＝0，则cos∠BPC，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减

∴cos∠BPC时，取得最大值为

∴的最小值是

故选：D

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