Question

【题目】如图所示，在四棱台中， 底面，四边形为菱形， ， .

（Ⅰ）若为中点，求证： 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（Ⅰ）要证直线与平面垂直，现在由与底面垂直有，因此还要证一个垂直，证，这可通过等边三角形得证，从而有需要的结论，因此证得线面垂直；

（Ⅱ）要求直线与平面所成的角，分别以为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 、、、 ,求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角得线面角．

试题解析：（Ⅰ） 四边形为菱形， ，连结，则为等边三角形，

又为中点， ，由 得， ,

底面， 底面， ，又 ,

平面

（Ⅱ）四边形为菱形， ， ,

得， ， ，又底面,

分别以为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，

、、、 ,

, , ,

设平面的一个法向量 ，

则有，令，则

直线与平面所成角的正弦值

.