【题目】设,
,是椭圆
的左,右焦点,直线
与椭圆相交于
,
两点
(1)若线段的中点为
,求直线
的方程;
(2)若直线过椭圆
的左焦点
,
,求
的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)点A、B的坐标代入椭圆方程,两式相减得到等式①,利用中点坐标可得代入①式可化简求出直线
的斜率k,即可求出直线
的点斜式方程,化简即可;
(2)设直线l的方程为,与椭圆方程联立得关于y的一元二次方程,韦达定理求出
、
,由
得
,列出等式化简得
,求出点
到直线AB的距离及
,代入
即可求得
的面积.
(1)由椭圆的对称性知直线的斜率存在,设
,
因为A、B在椭圆上,所以,
,
两式相减可得①,
因为为线段AB的中点,所以
,
代入①式可得,即
,
因为点在直线
,直线l的方程为
,
即;
(2)椭圆的右焦点,设直线l的方程为
,
联立,
,
所以,
因为,所以
,即
,
,所以
,
,
点到直线AB的距离为
,
,
所以的面积为
.
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【题目】已知椭圆:
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为
的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线:
与椭圆
相交于
,
两点,试问:在
轴上是否存在点
,使得
为等边三角形,若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】某工厂生产了一批零件,从中随机抽取100个作为样本,测出它们的长度(单位:厘米),按数据分成,
,
,
,
5组,得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.
(1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替);
(2)若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件,再从这5个零件中随机抽取2个,求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率.
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【题目】如图,正方形的边长为4,点
,
分别为
,
的中点,将
,
,分别沿
,
折起,使
,
两点重合于点
,连接
.
(1)求证: 平面
;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
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【题目】在直角坐标系中,圆
的方程为
,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求圆的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)设直线与圆
相交于
,
两点,求圆
在
,
处两条切线的交点坐标.
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【题目】已知椭圆:
的上顶点为
,左,右焦点分别为
,
,
的面积为
,直线
的斜率为
.
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线
与椭圆
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
.
,且
,求直线
的方程.
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【题目】哈尔滨市第三中学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召,实施网络授课,为检验学生上网课的效果,高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人,现从中抽取了100人的数学成绩,绘制成频率分布直方图(如下图所示).已知这100人中分数段的人数比
分数段的人数多6人.
(1)根据频率分布直方图,求a,b的值,并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数;
(2)现用分层抽样的方法从分数在,
的两组同学中随机抽取6名同学,从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言,求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
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【题目】
大学生是国家的未来,代表着国家可持续发展的实力,能够促进国家综合实力的提高.据统计,2016年至2020年我国高校毕业生人数y(单位:万人)的数据如下表:
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代号x | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
高校毕业生人数y(单位:万人) | 765 | 795 | 820 | 834 | 874 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性的强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;
,则认为y与x线性相关性一般;
,则认为y与x线性相关性较弱)
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测2022年我国高校毕业生的人数(结果取整数).
参考公式和数据:,
,
,
,
,
.
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【题目】为了解某校学生参加社区服务的情况,采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人,其中男生560人,从全校学生中抽取了容量为n的样本,得到一周参加社区服务时间的统计数据如下:
超过1小时 | 不超过1小时 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
(1)求m,n;
(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关?
(3)从该校学生中随机调查60名学生,一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X,以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率,求X的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2.
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