Question

【题目】对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，则把叫闭函数。

（1）求闭函数符合条件②的区间；

（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（3）已知是正整数，且定义在的函数是闭函数，求正整数的最小值，及此时实数k的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是，理由见解析；（3）。

【解析】

试题分析：（1）由题意，在上递减，在上的值域为，故有，求得、的值，可得结论；（2）取，则由，可得不是上的减函数。同理求得不是上的增函数，从而该函数不是闭函数；（3）由题意，可得方程在上有两个不等的实根．利用基本不等式求得当时，取得最小值为．再根据函数在上递减，在递增，而函数与在有两个交点，可得正整数的最小值为，此时，，由此求得的范围。

试题解析：（1）由题意，在上递减，则解得所以，所求的区间为。

（2）取则，即不是上的减函数。取，即不是上的增函数。所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

（3）是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，在单调递增，即，为方程的两个实根，即方程在上有两个不等的实根。，当且仅当时取等号考察函数

∵函数在上递减，∴。

∵在递增，而函数与在有两个交点。

所以正整数的最小值为，，此时的取值范围为。