【题目】已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件

(Ⅰ) 求数列、的通项公式；

(Ⅱ) 设 ,记数列的前项和 .

①求 ;②求正整数，使得对任意，均有 .

【答案】(Ⅰ) ；；

(Ⅱ)①见解析；②见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列的通项公式，进一步利用递推关系可得数列的通项公式；

(Ⅱ)①.结合(Ⅰ)中求得的通项公式分组求和即可确定的值；

②.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k的值.

(Ⅰ)设. 由已知得 即

进而有. 所以，即 ，则，

由已知数列是单调等比数列，且 所以取，

数列的通项公式为.

∵ ， ∴ 则.

数列的通项公式为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

①设，的前项和为.则.

又设，的前项和为.

则.

所以

②令 .

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减.所以，最大.

即当时，.

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