某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m处击中目标的概率为
12
，且各次射击都相互独立．
（Ⅰ）求选手甲在三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（I）记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事A、B、C，三次均未击中目标为事件D，设选手甲在x处击中目标的概率为P（x），则P(x)=
x
k2
．当x=100时求出k的值，再有独立事件同时发生的概率公式即可求得；
（II）由于ξ表示选手甲在比赛中的得分，根据题意则ξ的可取值0，1，2，3，利用随机变量的定义求出每一个对应值下的事件的概率，并列出分布列，利用期望公式求期望．
解答：解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事A、B、C，三次均未击中目标为事件D，
则P(A)=
1
2
．
设选手甲在x处击中目标的概率为P（x），则p（x）=
k
x2
．x=100时P（A）=
1
2
，
得
k
1002
=
1
2
，∴k=5000，P(x)=
5000
x2
．
∴P(B)=
2
9
，P(C)=
1
8
，P(D)=P(
.
A
)P(
.
B
)P(
.
C
)=
1
2
×
7
9
×
7
8
=
49
144
，
（Ⅰ）由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在三次射击中击中目标的概率为P=P(A)+P(
.
A
•B)+P(
.
A
•
.
B
•C)=
95
144
，
（Ⅱ）由题设知，ξ的可取值0，1，2，3，
P(ξ=3)=
1
2
，P(ξ=2)=
1
2
×
2
9
=
1
9
，P(ξ=1)=
1
2
×
7
9
×
1
8
=
7
144
，P(ξ=0)=
49
144
．
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
49
144
7
144
1
9
1
2
数学期望为Eξ=
85
48
．
点评：此题考查了学生对于题意的准确理解能力及逻辑思维能力，重点考查了相互独立事件同时发生的概率公式及离散型随机变量的分布列并利用分布列求其期望．
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