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设Sn为等差数列{an}的前n项和，Tn为等比数列{bn}的前n项积．
（1）求证：数列S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，并给出更一般的结论（只要求给出结论，不必证明）；
（2）若T10=10，T20=20，求T30的值？类比（1）你能得到什么结论？（只要求给出结论，不必证明）．
（1）求证：数列S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，并给出更一般的结论（只要求给出结论，不必证明）；
（2）若T10=10，T20=20，求T30的值？类比（1）你能得到什么结论？（只要求给出结论，不必证明）．
分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+
d，由此能够证明对于任意正整数k，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等差数列．
（2）Tn=b1nq
，由T10=10，T20=20，得b110q45=10，b120q190=20，得b110=10×5
，q5=(
)
，由此能够证明数列Tk，
，
，…成等比数列．
| n(n-1) |
| 2 |
（2）Tn=b1nq
| n(n-1) |
| 2 |
| 9 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
| T2k |
| Tk |
| T3k |
| T2k |
解答：（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+
d，
所以S10=10a1+
d=10a1+45d．
同理S20=20a1+190d，S30=30a1+435d．
所以，S20-S10=10a1+145d，S30-S20=10a1+245d，
所以，S10+（S30-S20）=20a1+290d=2（S20-S10），
所以，数列S10，S20-S10，S30-S20成等差数列． …（5分）
∴对于任意正整数k，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等差数列．…（7分）
（2）解：∵等比数列{bn}的前n项积是Tn，
∴Tn=b1nq
，
∵T10=10，T20=20，∴b110q45=10，b120q190=20，
∴b110=10×5
，q5=(
)
，
故T30=b130q435=(10×5
)3×[(
)
]87=8．…（12分）
类比（1）能得到结论：对于任意正整数k，数列Tk，
，
，…成等比数列．…（14分）
则Sn=na1+
| n(n-1) |
| 2 |
所以S10=10a1+
| 10×9 |
| 2 |
同理S20=20a1+190d，S30=30a1+435d．
所以，S20-S10=10a1+145d，S30-S20=10a1+245d，
所以，S10+（S30-S20）=20a1+290d=2（S20-S10），
所以，数列S10，S20-S10，S30-S20成等差数列． …（5分）
∴对于任意正整数k，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…成等差数列．…（7分）
（2）解：∵等比数列{bn}的前n项积是Tn，
∴Tn=b1nq
| n(n-1) |
| 2 |
∵T10=10，T20=20，∴b110q45=10，b120q190=20，
∴b110=10×5
| 9 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
故T30=b130q435=(10×5
| 9 |
| 20 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 20 |
类比（1）能得到结论：对于任意正整数k，数列Tk，
| T2k |
| Tk |
| T3k |
| T2k |
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是计算繁琐，容易失误．解题时要认真审题，注意培养计算能力．
