【题目】已知椭圆： （）的离心率为，直线： 与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左顶点作直线，与圆相交于两点， ，若是钝角三角形，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）（2），且

【解析】试题分析:(1)先由离心率为，求出的关系,再利用直线 与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切,求出即可求出椭圆的方程;(2)先设出的坐标,利用是钝角三角形，可得，即,联立方程写出韦达定理代入,从而求得斜率的取值范围．

试题解析:（1）由，得，

由直线 与圆相切，得所以， ，

所以椭圆的方程是．

（2）由（1），得圆的方程是， ，直线的方程是

设， ，由得

则， ．

由，得．①

因为是钝角三角形，所以，即

所以．②

由， 与轴不共线，知．③

由①、②、③，得直线的斜率的取值范围是，且．

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